2024-2025学年江苏省沭阳如东中学高一下学期期中学情检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省沭阳如东中学高一下学期期中学情检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知的内角所对的边分别是，若，则( ) A. B. C. D. 3.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则( ) A. B. C. D. 4.的值为( ) A. B. C. D. 5.已知向量，，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6.函数的值域为( ) A. B. C. D. 7.设，是两个非零向量，且，，则与的夹角是( ) A. B. C. D. 8.已知，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.点在所在平面内，下列说法正确的是( ) A. 若，则为的重心 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若为边长为的正三角形，点在线段上运动，则 11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即为三角形的面积，为三角形的三边现有满足，且的面积，则( ) A. 的最长边长为 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数若，则 13.四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为 14.已知在中，，的角平分线与边交于点，线段的中垂线过点，则 ， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，． 设，若向量与互相平行，求的值 设，当取得最小值时，求向量与夹角的余弦值． 16.本小题分 已知， 求的值 若在角终边上，求的值． 17.本小题分 在中，内角的对边分别为，且． 求角； 若边的面积为角的平分线交边于点，求． 18.本小题分 复兴中学有一直径为米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形，点，在直径上如图所示其中张角． 若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； 设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积． 19.本小题分 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角． 若非零向量满足，且，求的取值范围； 若向量，且，求正数的值； 已知非零向量满足是正整数，向量的夹角，和都是有理数，且，求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为，， 所以，， 又向量与互相平行，所以，解得， 所以，则； 因为， 所以 ， 所以当时取得最小值， 此时，则，， ， 所以设向量与夹角，则， 所以向量与夹角的余弦值为． 16.解：由题意可得，， 则， 因，则或， 因，则，则， 则． 因点在角终边上，则 则， ， 则． 17.解：， 所以或，即或舍， 所以． 因为的面积为 所以， 由余弦定理得，， ， 由得，， 解得． 18.解：由已知得为直角三角形，因为， 所以， 设点到的距离为，则， 所以，得， 因为， 所以，得， 在中，由余弦定理得， 即，得， 所以， 所以； 因为，所以， 所以， 则． 在中，由正弦定理得：，得， 所以， 在中，由正弦定理得：，得， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值． 所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为． 19.解：因为且，则， 又，所以，得到， 又，且 所以的取值范围是． 因为和，则，， 则设向量和的夹角为，则， 所以， 则，整理得到， 所以舍或，解得或舍， 所以． 因为，则，， 又，则，即， 又，则，又是正整数， 当，不合题意， 当，，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合 ... ...