2024-2025 学年上海市七宝中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 , 是两个不共线的向量，向量 + , 23 1 3 共线，则实数 的值为( ) A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2 2. 中，设 1 cos cos = cos2 2，则 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 3.已知 > 0， ∈ 0,2π ，集合 = { | = cos( + ), ∈ Z}中有 2025 个元素，则 的取值不可能是( ) A. 2 π 2π4049 B. 4049 C. 2025 D. 2025 2sin π 4.关于函数 ( ) = 2 2 2 +3的以下两个命题：①函数 = ( )的图象是轴对称图形；②对任意的 ∈ ，不等 式 2 ( ) ≤ 3| |恒成立．则正确的是( ) A.①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.已知角 的终边经过点(3,4)，则 sin = ． 6.已知 sin > 0 且 cos < 0，则 为第 象限角． 7.已知扇形的半径为 8cm，弧长为 4cm，则扇形的圆心角 的弧度数为 ． 8.已知 为锐角，且 cos = 13，则 tan = ． 9.已知 ∈ π π6 , 3 ，且 与 的终边关于原点对称，则 cos 的取值范围为 ． 10.函数 ( ) = ln tan 3 的定义域为 ． 11.已知 = 2， = 4，则 + 的最大值为 ． 12.已知 ， 均为锐角，sin = 3sin cos( + )，则 tan 取得最大值时，tan( + )的值为 ． 13.已知 中的边 = 2， = 2 3，∠ = π，若 为边 上的动点，则 ( + 6 ) = ． 14.已知函数 ( ) = 3cos( + )( > 0) π满足对任意的 ∈ R 都有 ( ) ≤ 3 .若函数 = ( )在区间 π π 8 , 2 上有且仅有一个零点，则 的取值范围是 ． 15.已知平面向量 ， ， ，对任意实数 ， 都有 ≥ ， ≥ 成立．若 = 2，则 的最大值是 ． 第 1页，共 8页 16.已知函数 ( ) = π 过点(2, 1)，且图象对称中心为(1,0)，函数 ( ) = sin(2 + )( > 0, | | ≤ 2 ) 1 的两相邻对称中心之间的距离为 1，且对任意的 ∈ ， ( ) ≤ 2 恒成立．若方程 ( ) = ( )在 ∈ [ 1, + 3] ∈ Z 上的所有根之和等于 2028，则满足条件的 构成的集合为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知函数 ( ) = sin ． (1)求函数 = 2 ( ) + π2 + 1 的单调递减区间； (2)求函数 ( ) = 2 2( ) + π2 + 2 π ， ∈ 0, 2 的值域． 18.(本小题 14 分) 已知向量 ， 满足 = 3， = 1，设 与 的夹角为 ， (1) = π当 6时，求 与 + 2 的夹角； (2)若对任意实数 ，不等式 + ≥ + 恒成立，求 cos 的值． 19.(本小题 14 分) 七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地 分隔成三部分分 π 别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为 60 米，∠ = 3，动点 在扇形 的弧上(不 包含端点)，点 在半径 上，且 // ． (1)当 = 40 米时，求分隔栏 的长； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区 的面积 的最大值． 20.(本小题 14 分) 定义点 ( , )，若函数满足 ( ) = sin + cos ，则称函数 = ( )为点 的“ 伴生函数”，点 ( , )为函数 = ( )的“源点”． 第 2页，共 8页 (1)已知点 3, 1 为函数 ( ) = sin( + ) cos 4π3 | | < π 2 的“源点”，求实数 的值． (2)已知点 ( , )满足 = 3， ∈ 0, 3 .若点 ( , )的“ 伴生函数” = ( )在 = 时取得最大值， 当点 运动时，求 tan2 的取值范围； (3) 2已知点 的“0 1 伴生函数” = ( )满足 ( ) = 2 .若 中， = 2，cos = ( )，点 为该三 角形的外心，求 + 的最大值． 21.(本小题 14 分) 已知函数 ( ) = sin 2 ( ∈ )，任取 ... ...
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