高一下数学人教A版2019必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算（共22张PPT）

6.2.3 向量的数乘运算 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义； 2.理解两个平面向量共线的含义； 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 回顾1 向量的加法运算的法则有哪些？向量加法的运算律有哪些？ O A B C ????????=????????+???????? ? 起点相同，对角为和 ????????=????????+???????? ? 首尾相连首尾连 ????+????= ????+???? ? ????+????+????=????+????+???? ? 向量加法满足交换律和结合律 回顾2 向量的减法是如何描述的？它的几何意义是怎样的？ 向量的减法：?????????=????+(?????) ? 自然语言：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 首同尾连向被减：????????=?????????0???? ? 即?????????可以表示为从向量????的终点指向向量????的终点的向量 这就是向量减法的几何意义 ? 1.向量的加法运算： ①三角形法则：首尾相接，首指向尾 ②平行四边形法则：起点相同，对角为和 2.向量的减法运算：共起点，连终点，指被减 思考：向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？ 问题1 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出????+????+????和?????+?????+?????，并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与那些因素有关? ? 一、向量的数乘运算及其几何意义 B C O A 如图，?????????=????????+????????+????????=????+????+?????. 类比数的乘法，我们把 ????+????+????记作 3?????，即?????????=3????. 显然3????的方向与????的方向相同， 3???? 的长度是????的长度的3倍，即3????=3????. ? N M Q P 类似的，?????????=????????+????????+????????=?????+?????+?????. 我们把?????+?????+?????记作 ?3?????，即?????????=?3????. 显然3????的方向与????的方向相反， ?3???? 的长度是????的长度的3倍，即?3????=3????. ? 一般地，我们规定实数????与向量????的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作?????????. ? 长度： ????????=???????? 方向：当????>0时，????????的方向与????的方向相同； 当????<0时， ????????的方向与????的方向相反； 当????=0时， ????????=0 ? 注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由????与????决定； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减 ? 问题2 向量数乘运算的几何意义是什么? ???? ? ???????? ? ???????? ? 因为向量数乘的结果仍然是向量； 所得的向量的方向由????与????决定； ? 如图是????????把向量????沿????的方向或????的反方向伸长或压缩????倍. ? ???? ? ???????? ? ???????? ? （1）当????>0时，????????的方向与????的方向相同； （2）当????<0时， ????????的方向与????的方向相反； （3）当????=0时， ????????=0（若????=0， ????????=0也成立） ? 相反向量： ?1????=?????； 零向量： ????=0或????=0? ????????=0 ? 相反向量与零向量的另一种解释方式 问题3 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 设????，????是实数，那么有 (1)????????????=???????????? (2)????+????????=????????+???????? (3)????(????+????)=????????+???????? ? 二、数乘运算的运算律及其线性运算 向量数乘的运算律： 设????，????是实数，那么有 (1)结合律：????????????=???????????? (2)分配律：①????+????????=????????+???????? ②????(????+????)=????????+???????? ? 特别地，我们有(?????)????=?????????=????(?????) ????(?????????)=????????????????? ? 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 推广：对于任意向量????,????,以及对于任意实数????，????1，????2，恒有????（????1????+????2????）=????????1????+? ... ...