6．2.2　排　列　数 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．2.2　排　列　数 6．2.2　排　列　数(1) 1. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法． 2. 掌握并能应用排列数的两个公式． 3. 初步运用所学的排列知识解决简单的实际问题． 活动一　排列数的概念　 1. 排列数的定义： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 思考1 排列和排列数有何区别？ 2. 排列数公式的推导： 如何求A？ 假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中任取2个元素去填空，一个空位上填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同的填法的种数就是排列数A. 由分步计数原理完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1). 思考2 (1) 如何求A？ (2) 如何求A？ 排列数公式： A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n) 说明：(1) 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数． (2) 全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：A＝n(n－1)(n－2)…2×1＝n！(叫做n的阶乘). 另外，我们规定 0！＝1. 练习　计算下表中的阶乘并填入表中： n 2 3 4 5 n！ n 6 7 8 n！ 活动二　排列数公式的两种形式及应用　 例1　计算： (1) A； (2) A； (3) A÷A. 思考3 由(2)(3)我们看到A＝A÷A，那么这个结果有没有一般性呢？ A＝＝. 思考4 如何证明这个结论？ 例2　(1) 求证：A＝nA(n≥m≥2)； (2) 求证：A＋mA＝A； (3) 解方程：A＝12A. 说明：(1) 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，n∈N*且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； (2) 公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特别是m，n为已知时，公式A＝常用来证明或化简． 活动三　排列数的简单应用　 例3　某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别赛1 次，共要进行多少场比赛？ 例4　(1) 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2) 有5种不同的书，每种都超过3本，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？ 思考5 例4中两个问题的本质区别在哪里？ 1. (2024重庆黔江月考)求A＋A的值为(　　) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. (2024石家庄期中)设n∈N*，且n<19，则(19－n)(20－n)…(2 024－n)等于(　　) A. A B. A C. A D. A 3. (多选)对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n！！＝n(n－2)(n－4)…6×4×2；当n为奇数时，n！！＝n(n－2)(n－4)…5×3×1，则下列命题中正确的是(　　) A. (2 009！！)(2 008！！)＝2 009! B. 2 008！！＝2×1 004! C. 2 008！！的个位数为0 D. 2 009！！的个位数为5 4. (2024中山期末)若A＝10A，则正整数n＝_____． 5. (2024淮安洪泽中学等七校联考)(1) 计算：； (2) 解不等式：A<6A. 6．2.2　排　列　数(2) 1. 会用排列数公式计算和解决简单的实际问题． 2. 能运用分类和分步计数原理解决有限制条件的排列问题． 3. 会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题． 4. 进一步培养分析问题、解决问题的能力，学会一题多解． 活动一 排数问题 例1　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解决排列问题的关键是审题，确定分类与分步的标准，遵循两个原则：(1) 按事情发生的过程进行分步；(2) 按元素的性质进行分类． 解题策略： (1) 特殊元素优先安排的策略； (2) 合理分类与准确分步的策略； (3) 正难则反、等价转化的策略． 用1，2，3，4，5这五个数字可组成多少个比20 000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？ 活动二　座位问题　 例2　3个女生和5个男生排成 ... ...