2016中考数学压轴题动态问题 专题十线段和差（定值）问题 【考情分析】 线段和差（定值）问题解题依据： 1．两点之间，线段最短； 2．对称的性质 3．三角形两边之和大于第三边； 4．三角形两边之差小于第三边. 一、求两线段和的最小值问题（运用三角形两边之和大于第三边） 在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A’是A关于直线m的对称点。 二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 一、线段和差问题 1．如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB＝60°，以点A为原点、边AB所在直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线D－C－B向终点B以每秒2 个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P到达终点时停止运动．设运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．21教育网 （1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式； （2）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由； （3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式； （4）若F、G为DC边上两点，且点DF＝FG＝1，试在对角线DB上找一点M、抛物线对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．【来源：21·世纪·教育·网】 先作F、G分别关于直线BD、抛物线对称轴的对称点F′、G′，连接F′G′后，与BD、对称轴的交点就是符合条件的M、N，那么四边形的最小周长即为F′G′+FG． 解答：（1）由题意得：D（3，3）、C（9，3） 设经过A、D、C三点的抛物线解析式为y＝ax 2＋bx 把D、C两点坐标代入上式，得： 解得：a＝－ ，b＝ ∴抛物线的解析式为：y＝－ x 2＋ x （2）连接AC ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD 若PQ⊥BD，则PQ∥AC 当点P在DC上时 ∵PC∥AQ，PQ∥AC，∴四边形PQAC是平行四边形 ∴PC＝AQ，即6－2t＝t, ∴t＝2 当点P在CB上时，PQ与AC相交，此时不存在符合要求的t值 （3）①当点P在DC上，即0≤t ≤3时 ∵DP∥AQ，∴△DEP∽△AEQ ∴ ＝ ＝ ＝2，∴y＝ AD＝2 ②当点P在CB上，即3＜t ≤6时 ∵AE∥BP，∴△QEA∽△QPB ∴ ＝ ，即 ＝ ∴y＝ 综上所述，y与t之间的函数关系式为： y＝ （4）作点F关于直线BD的对称点F′，由菱形对称性知F′ 在DA上，且DF′＝DF＝1 作点G关于抛物线对称轴的对称点G′，易求DG′＝4 连接F′G′ 交DB于点M、交对称轴于点N，则点M、N即为所求的两点 过F′ 作F′H⊥DG′ 于H，可得HD＝ ，F′H＝ ，HG′＝ ∴F′G′＝ ＝ ∴四边形FMNG周长最小值为F′G′＋FG＝＋1 点评：此题为函数几何综合解答题，涉及了二次函数、特殊四边形、相似三角形、勾股定理、轴对称性等有关知识，也重点考查了学生对分类讨论思想的掌握情况．本题着力菱形的各项性质而设计，如“菱形的对角线互相垂直”、“菱形对边互相平行”、“菱形是轴对称图形”等，（2）（3）（4）问依次考察了学生对菱形基本性质的掌握程度及运用其性质灵活解题的能力，本题在设计时，（1）（2）（3）（4）问难度依次递增，充分考虑了不同层次的学生，让每位答题的学生都有所收获，都能获取成功的体验，同时本题又兼顾了压轴题的选拔功能，通过本题可以很好地区分学生的层次，激发更多的学生去攀登数学高峰． ? 2．如图所示，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A、B和D（4，－ ）． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C ... ...
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