2.4.4　向量与距离--2025湘教版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第2章2.4.4　向量与距离 A级 必备知识基础练 1.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　　) A. B. C. D. 2.直线l的方向向量为m=(1,1,0),且l过点A(1,1,1),则点P(2,2,-1)到直线l的距离为(　　) A. B. C.2 D.3 3.空间直角坐标系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点A到直线B1E的距离为(　　) A. B.1 C. D. 5.已知点M(-1,1,-2),平面π过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),则点M到平面π的距离是　　　　　. 6.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内.若点P(-2,1,4)到平面α的距离d为,则x=　　　　　. 7. [人教B版教材例题]如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求点D到平面PBC的距离. B级 关键能力提升练 8.(多选题)已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为α内一点.若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 9. 如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,N为AD的中点,则点N到平面SBC的距离为(　　) A. B. C.1 D.2 10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A. B. C. D. 11.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(-6,2,-8),=(4,-2,3),=(-4,1,0),则该三棱柱的高为　　　　　. 12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知点H,A,C1三点共线,且=0,则点H到平面ABCD的距离为　　　　　. 13.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段,每两条线段的夹角均为60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若点M满足+2+3,则点M到直线AB的距离为　　　　　. 14. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. C级 学科素养创新练 15.[北师大版教材例题]已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值. 16. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值; (2)求点A1到平面AED的距离. 2.4.4　向量与距离 1.A　依题意,=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d=.故选A. 2.C　∵A(1,1,1),P(2,2,-1), ∴=(1,1,-2),又m=(1,1,0), ∴在m方向上的投影为||·cos<,m>=,∴点P到直线l的距离d==2.故选C. 3.A　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量都垂直,则取x=1,则n=(1,3,-4),又平面α∥平面β,因此平面α与平面β间的距离d=. 4. B　建立如图所示的空间直角坐标系,连接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),E(0,1,),B1(1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,-),所以上的投影为=1,所以点A到直线B1E的距离为=1.故选B. 5.　由题意,=(1,-1,2),n=(1,-2,2), ∴·n=1+2+4=7.设与n的夹角为α,则由·n=||·|n|cos α可知点M到平面π的距离为d=. 6.-1或-11　由题意=(x+2,2,-4),由空间中点到平面距离的向量公式d=,即,解得x=-1或-11. 7.解依题意,AB,AD,AP是两两互相垂直的. 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,-1). 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1,则得x=1,y=0,此时n=(1,0,1). 因为, 所以点D到平面PBC的距离为. 8.AD　由向量法可知,∵=(0,1,2)-(x2,2x+1,2)=(-x2,-2x,0),n=(-1,-2,2), ... ...