(
课件网) 北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线 4 角平分线 目录 壹 课前复习 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 课前复习 课前复习 如图，在中， ，的平分线 交 于点，，，则点到 的距离是 ( ). D A.7 B.2 C.4 D.3 第贰章节 新课导入 新课导入 作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 第叁章节 新知探究 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF. 证明结论 D E F A B C P N M 三角形的内角平分线 1 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 归纳总结 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm. ∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC. ∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. 在等腰 Rt△BDE 中， (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 点 O 到△ABC 三边的距离和 为 . M A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 E N 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC. (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 ( ) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线， 则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180° － 70°＝110°. 第肆章节 随堂练习 随堂练习 1.如图，在中，到和距离相等， ， ， 则 度数为_____. (第1题) 2.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出 点，则与 的数量关系是_____. (第2题) 3.在中， ，点在上，于点 ，且 ，连接.若 ，则的度数为____ . 35 4.在中， ，平分交 于点，垂直平分线段 . (1)求 ； 解:是线段 的垂直平分线， ， . 平分 ， . ， ， . (2)若，，求 的长. 解: ， ， ，平分 ， ， ， . 5.如图，在中，， . (1)用直尺和圆规作的平分线交于点 ；(保留作图痕迹，不 要求写作法) 解:如图所示, 即为所求. (2)在(1)中作出的平分线后，求 的度数. 解:， ， ， 的平分线 ， ， . 6.如图，是的角平分线，于， 的面积是 ，，，则___ . 5 7.如图，已知为的平分线，点在上，于 ， 于，且.求证: . 解:于，于 ， 且， ， 在和中， ， . 8.如图，已知的周长是30，， 分别平分 ，，于点，且 ，则 的面积为( ) ... ...
