新生数理基础大赛，2024-2025学年春季学期，数学组试题卷 本次考试旨在引导问学们用已经学习的知识解决一些深刻或有趣的数学问题，并带米前所未有的数学竞赛体 验.为了保证你的解题休验，请仔细阅读以下内容： 1.本次考试会出现大量选做题，这是为了减少出题风格对最终成绩的大幅度影响。因此，强烈建议在开 始回答问题之前阅读一遍全部试题，并选择适合自己的题目. 2.题号上出现“·”标记的，表示这个问题可能难度较大 3.考生可以以任意顺序答题。考生应当显著地标记所回答问题的题号，尤其是当不按顺序答题时. 4.大部分题目有多个问题.在同一题日中 ·解答靠后的问题时，可以直接使用靠前的问题的结论，无论考生是否完成了这靠前的问题 ·解答靠前的问题时、不能使用靠后的问题的结论，除非考生已经完全正确地解答了这靠后的问 题，并且结论引用中没有循环论证。不建议这样做 不同题目之间不得互相引用结论， 5.试卷印刷有缺陷的，或者考生对试卷上的数学州语、数学符号的含义有疑问的，可以举手询问监考员. 祝你取得好成绩！ 考试时间是2025年5月15日13：30-17：30，共240分钟.考生可以在任何时间提前交卷.考生交卷时只交答 题纸，带走试题卷和草稿纸。 本试卷共16页，共13题，考生需要完成其中9题.满分是105分. "Should you just be an algebraist or a geometer "is like saying "Would you rather be deaf or blind "-Sir Michael Francis Atiyah,Mathematics in the 20th Century “若问·你该只做代数学家还是几何学家？’，无异于问‘你宁愿失聪还是失明？’”一 迈克尔·弗朗西斯·阿蒂亚，《二十世纪的数学》 分析部分(40分) 注.分析部分的题目共有46分.在这部分得超过40分的，按40分计算 欢迎来到新生数理基础大赛分析部分！下面是一些符号约定， ·N指非负整数集，Z指整数集，Q指有理数集，R指实数集，C指复数集， ·当我们提到1og函数的时候，我们是以自然对数e为底，而不是10.一种没有歧义的看法是把所 有的1ogx都自动替换为 ogx loge 是在多元函数中对第k个分量求导。 ,k三ax ·所有的光滑函数都指可以无限次求导的函数。 /p ·IfI= fdx1…dxn 是R”上的LP范数，其中f是在Rn上的可测函数，p∈[1，+∞)， 你可以不加证明直接使用的工具： ,Newton--Leibniz公式)对于c函数f,有f(b)-f(a)=f'(x)dx. 第1页共16页
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