第2节 等差数列 [课程标准要求] 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 1.等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1－an=d(n∈N*,d为常数) 通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式an=a1+(n－1)d 等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b 2.等差数列的前n项和公式 已知条件 前n项和公式 a1,an,n Sn= a1,d,n Sn=na1+d 3.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,公差为d. (1)通项公式的推广:an=am+(n－m)d(n,m∈N*). (2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3){a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (5)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. 1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于( ) [A] －2 [B] [C] 1 [D] 2.(人教A版选择性必修第二册P25习题4.2 T8改编)已知数列an=2n－1,bn=3n－2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为( ) [A] cn=3n－2 [B] cn=4n－1 [C] cn=5n－3 [D] cn=6n－5 3.(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( ) [A] S15 [B] S16 [C] S15或S16 [D] S17 4.(2024·湖南衡阳模拟)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若S8=S9,则S17= . 考点一 等差数列基本量的运算 1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1等于( ) [A] [B] [C] － [D] － 2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于( ) [A] 25 [B] 22 [C] 20 [D] 15 3.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10= . 4.已知等差数列{an}的通项公式为an=11－n,则 |a1|+|a2|+…+|a20|= . (1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d. 考点二 等差数列的判断与证明 [例1] 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an－an－1为同一个常数. (2)等差中项法:验证2an－1=an+an－2(n≥3,n∈N*)成立. (3)通项公式法:验证an=pn+q.当p≠0时,an为关于n的一次函数. (4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.当A≠0时,Sn为关于n的二次函数且常数项为0. [针对训练] (2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,且对任意m,n∈N*(m>n)均有am+n+am－n=2am+2an. (1)设bm=am+1－am,证明{bm}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 考点三 等差数列的性质及应用 角度1 等差数列的性质 [例2] (1)在等差数列{an}中,a2+a4+a7+a9=20,则3a5+a7等于( ) [A] 20 [B] 15 [C] 10 [D] 条件不足,无法计算 (2)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20(k∈N*),则a9k= . 等差数列项的性质多是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形,解题时可多关注数列中所涉及的各项的下标,灵活应用这些性质常常可化繁为简,减小计算量,起到事半功倍的效果. 角度2 等差数列前n项和的性质 [例3] (1)(2025·河北石家庄模拟)在等差数列{an}中,a1=－2 024,其前n项和为Sn.若= ... ...
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