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课件网) 微专题———路径最短问题 学习目标 1.利用轴对称解决实际问题（最短路径），体会轴对称在现实生活中的应用和价值。（难点） 2.了解在运用数学知识解决问题时，转化思想的应用，体会转化是解决数学问题的一种重要策略，达到化繁为简、化难为易，化不熟悉为熟悉的目的。（重点） 3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 旧知回顾 ●我们学了哪些关于线段最短的数学公理？ A到B如何走最短？ 点P到直线l如何走最短？ 依据：两点之间，线段最短 依据：垂线段最短 ●在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的知识？ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边； 任意两边之差小于第三边； ●如图，如何作点A关于直线l的对称点？ 温故知新 l A A′ O 山脚下的点A 营地B “白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。” 情景引入 将军饮马问题 诗中隐含着一个有趣的数学问题 如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 抽象成 作图问题：在直线l上求作一点P，使AP+BP最短问题. 探索新知 模型一：两定一动，在直线的异侧 A B 数学问题 A l B P l 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 根据是“两点之间，线段最短”. 连接AB,与直线l相交于一点P. A l B P 探索新知 l B A 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 模型二：两定一动，在直线的同侧 P A B l 抽象成 探索新知 （2）连接A′B，与直线l相交于点P． 作法 （1）作点A关于直线l的对称点A′； 则点P即为所求． l P A' 能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于P点吗？ B' B A 模型二：两定一动，在直线的同侧 探索新知 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ l A P' P B A' 证明：如图，在直线l上任取一点P′(与点P不重合) 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知: AP =A′P，AP′=A′P′ ∴AP +BP= A'P +BP = A′B AP′+BP′= A′P′+BP′ 在△A′BP′中， A′B＜A′P′+BP′ ∴AP +BP＜AP′+BP′ 即AP +BP 最短 探索新知 小试牛刀 1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 . 课堂练习 A B C E F D E' F' 5 F' 实例剖析 3、如图，在△ABC中，BC=3，AC =4,直线EF垂直平分AB，点P是直线EF上的一个动点，则△PBC的周长最小值是 _____. A B C E F P 7 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. 归纳总结 l P A' B A 同侧转化异侧 两定点在同侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 两定点在异侧 A l B P 如图，有一位将军骑着马从P点的军营出发，先到河OA边让马喝足水，再到草坪OB边让马儿吃草，最后返回P点军营，该如何选择路线，让将军走的路程最短？ P O A B 抽象 O A B P 作图问题：在直线OA、OB上分别作一点C、D,使PC+CD+PD最短问题. C D 模型三：一定两动，夹角型 模型三：一定两动 探索新知 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小. M N O A B P2 P1 P M N O P2 P1 P A' B' 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小， ... ...
