2024级高一下学期期中考试数学试题 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 2．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C． D． 3. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，表面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 4．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若,，，，，则 5．非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A． B． C． D． 6.如图，在四棱锥中，四边形ABCE是梯形， 且点F在棱上，且平面，则=（ ） 7.四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为( ) 14 8.已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是( ) 2 3 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水， 水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上， 再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论， 其中正确的是（ ） A. 没有水部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值 C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 11.下列命题正确的（ ） A．已知，若与的夹角是钝角，则 B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1,2,4. C．在中,为常数，若，且，则的面积取最大值时， D．在中，，，设是的内心，若，则 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个 底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形， 那么原平面图形的面积为 . 13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则 14.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动,是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以 任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长 均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层 正四面体的棱长最长为 四、解答题：本小题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，则,, ,求： (1)的值； (2)与的夹角的余弦值． 16.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18.如图，在正方体中，E为的中点. (1)求证：∥平面； (2)若为的中点，求证：平面∥平面． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)在中，若，求．2024级高一下学期期中考试数学试题答案 1———8 DBCD CBBC 9.BD 10.ACD 11.BCD 10.【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐 ... ...
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