2025年全国高中数学联赛江西省预赛试题卷(图片版,含详解)

2025年全国高中数学联赛江西省预赛试题 (6月22日上午9：30一12：00) 一、填空题（每小题7分，共56分） 1.若圆C1:x2+y2-2x-2y=6与圆C2:x2+y2-4x-4y=k有唯一交点，则k= 2.设复数z满足(1+2i)z=3-4川，则(1+Z)3的值为 3.半径为的大球内部装四个半径相等的小球，则小球的最大半径为 4.函数f(x)=c0s(ωx+羽（ω>0），x=牙是函数的一个零点，x=-平是函数图像的一条对 称轴，（臣）是f(x)的一个单调区间，则ω的最大值为 5.随机地掷出三枚质地均匀点数分别为1,2，…，6的正方体色子，所得点数之和为素数的概率 为 6.正实数a,b,c满足a+b+c=1,且方程ax2+bx+c=0有实根，则abc的最大值 为 7.曲线y=和y=一x2+7相交于点A,B,C,△ABC的外心和垂心为P和Q,则PQ= 8。对于正整数m,0n表示与沉最接近的整数（例如a20=3)，则2六= 二、解答题（共64分） 9.(14分)已知实数a>0,b>0,且满足a+3b=6.求3bab+1的最大值. 10.(15分)⊙01与⊙02交于A,B两点，过点B的直线分别交⊙01，⊙02于点C,D,E为线段 AB上异于A,B的点，点F满足FO1⊥ED,FO2⊥EC.证明：BF⊥CD、 11.(15分)已知n为正整数，正实数a,b,c满足a+b+c=3.求证： an+4n bn+4n cn+4n、3(4n+1) (a+D)(a+c+(b+0(b+a+(c+a(c+b) 4 12.(20分)求所有满足F(n2)=√n的正整数n的和，其中F(n)表示正整数n的正因数的个数. 2025年全国高中数学联赛江西省预赛 试题参考答案 (6月22日上午9：30--12：00) 一、填空题（每小题7分，共56分） 1.若圆C:x2+y2-2x-2y=6与圆C2:x2+y2-4x-4y=k有唯一交点，则 k= 答案：-6或10. 解：由题圆C:(x-1)2+(y-1)2=(2V2)2,圆C2:(x-2)2+(y-2)2=k+8,题设等 价于圆C,的半径分别为V2或32，所以k+8=2或18，所以k=-6或10. 2.设复数z满足(1+2)z3-4i,则(1+z)3的值为 答案：-16+16i. 1+2=1-21,所以0+2=2+2°=8i-(2+2)=-16+161. 解：由题z=,5 3.半径为√6的大球内部装四个半径相等的小球，则小球的最大半径 为 答案：6-26. 解：由题知小球半径最大时四个小球的球心 构成一个正三棱锥A-BCD且小球内切于大球， 大球球心为正三棱锥A-BCD的中心.如图1，为 便于计算边长比，先设正三棱锥的棱长为6，容易 36 计算得OA=3V6 2 故大球与小球半径比为 3v 6 +36+2，故小球的最大半径为 2 G。 3 23 2 2w6 V6+2 6-26 图1 4.函数f()=cos(or+T(0>0),x=T是函数的一个零点，x=-T是函数 4 4 图像的一条对称轴，（匹，乃）是f(x)的一个单调区间，则o的最大值为 12'91 第1页，共7页