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课件网) 第四章 1.1 基本关系式 1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握同角三角函数的基本关系. 2.能利用同角三角函数的基本关系进行求值、化简与证明. 基础落实·必备知识一遍过 知识点 三角函数的基本关系 如图,任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cos α,sin α),点P到坐标原点O的距离为1,所以sin2α+cos2α= . 角α是任意的 1 另外,由正切函数的定义,有tan α= ,这两个关系式是同角三角函数的基本关系式. 其中α≠kπ+ (k∈Z) 名师点睛 1.“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关. 2.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系. 3.sin2α与sin α2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sin α的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的. 4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种: (1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α; (3)sin α=cos αtan α;(4)cos α= (5)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 思考辨析 1.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α, x=cos α, =tan α.能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,tan α的关系 提示 可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1. 2.式子sin 22 023+cos 22 023=1正确吗 提示 在等式sin 2x+cos 2x=1中x∈R, 所以sin22 023+cos22 023=1正确. 自主诊断 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)sin2α+cos2β=1.( ) × √ × × × √ × 重难探究·能力素养速提升 探究点一 简单的三角函数求值问题 【例1】 (1)若sin α=- ,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值; (2)若cos α= ,求tan α的值; 规律方法 1.(1)已知sin θ,求cos θ,tan θ,常用以下方式求解: (2)已知cos θ,求sin θ,tan θ,常用以下方式求解: (3)已知tan θ,求sin θ,cos θ,常用以下方法求解: 2.(1)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能位于的象限,再分类求解; (2)利用平方关系时,应根据角θ的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号. B C 探究点二 关于sin α,cos α的齐次式的求值 规律方法 1.若待求分式的分子、分母都是含有sin α,cos α的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cos α的若干次方,将其转化为关于tan α的表达式,比如: 2.若一个式子是关于sin α与cos α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解. 比如:asin2α+bsin αcos α+ccos2α 变式训练2已知2cos2α-3sin αcos α= ,求tan α. 探究点三 利用sin θ±cos θ与sin θcos θ间的关系求值 【例3】 [2024江苏无锡高一期末](1)已知tan α是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实根,且α是第一象限角,求3sin2α-sin αcos α+2cos2α的值. 规律方法 1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sin θ±cos θ)2= 1±2sin θcos θ,因此sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值. 2.在求解sin α±cos α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin α±cos α的正负,判定的方法有:(1)根据sin αcos α的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断. 变式训练3[2024上海普陀高二期中]已知sin α和cos α是关于x方程2x2+4kx+3k=0的两个实根. (1)求实数k的值; (2)若α∈(0,π),求cos α-sin α的 ... ...
