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课件网) 第四章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题. 基础落实·必备知识一遍过 α,β∈R =sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin[α+(-β)] =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β. 从而可得两角和与差的正弦公式,记作Sα±β. sin(α+β)= .(Sα+β) sin(α-β)= .(Sα-β) sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 名师点睛 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 2.两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”. 思考辨析 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立.( ) (2)对于任意角α,β,总有sin(α+β)=sin α-sin β成立.( ) (3)存在角α,β,使得sin(α+β)=sin α-sin β 成立.( ) × × √ √ 2.[人教A版教材习题改编]sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°= . 1 知识点二 两角和与差的正切公式 角α,β,α+β的终边不能在y轴上 分子、分母同除以cos αcos β(当cos α·cos β≠0时),得到两角和与差的正切公式,记作Tα+β,同理可得Tα-β. tan(α+β)= .(Tα+β) tan(α-β)= .(Tα-β) 名师点睛 1.在两角和与差的正切公式中,α,β,α+β,α-β均不等于kπ+ (k∈Z). 2.公式的结构特征及符号特征如下: (1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β 的差或和. (2) 符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 思考辨析 已知A+B=135°,试探求(1+tan A)·(1+tan B)的值. 提示 (1+tan A)(1+tan B) =1+(tan A+tan B)+tan Atan B =1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B =1+1-tan Atan B+tan Atan B =2. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.( ) √ × √ 2.在△ABC中,已知tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+ =0的两个实根,则A= . 重难探究·能力素养速提升 探究点一 利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值 【例1】 化简下列各式: (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°; (3)tan 23°+tan 37°+ tan 23°tan 37°; (4)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)·(1+tan 24°). (4)因为(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24° =1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24° =1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24° =1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2. 同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,所以原式=2×2=4. 规律方法 1.公式的巧妙运用:一是正用,如本题中的(2);二是逆用;三是变用,变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+ sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会 变式训练1化简下列各式: (1)sin 15°+sin 75°; (4)sin(α+β)cos α- [sin(2α+β)-sin β]. 解 (1)sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin ... ...
