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课件网) 6.2.3向量的数乘运算 第六章 平面向量及其应用 数学 学习目标 ①掌握向量数乘的定义以及向量数乘的三条运算律,会利用向量数乘的运算律进行有关的计算. ②理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线. ③通过对向量的数乘的学习,学生提升观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想. 学习重难点 重点： 向量数乘的定义、运算律,向量共线定理. 难点： 理解向量数乘的定义,向量共线定理. 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，连首尾 特点:同一起点,对角线 A O 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: 温故 B 课堂导入 a a a A B C O -a -a -a P Q M N 课堂探究 1.向量的数乘运算的定义： 由（1）（2）可知， 课堂探究 = 探究:实数与向量积的运算律 课堂探究 探究:实数与向量积的运算律 课堂探究 探究：实数与向量积的运算律 = 课堂探究 2.实数与向量积的运算律： 结合律 分配律 分配律 课堂探究 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的 结果仍为向量。 对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 课堂探究 例1.计算： 注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 课堂探究 A B C M D 课堂探究 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间 的位置关系吗？ 课堂探究 向量共线定理 思考:1) 为什么要是非零向量 2) 可以是零向量吗 （重点） 向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使 可以 课堂探究 课堂探究 题型一 向量的线性运算 例1 化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)]. 解 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=(4a+16b-16a+8b) =(-12a+24b) =-2a+4b. 解题技巧:(向量线性运算的方法) (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 课堂探究 跟踪训练1 (1)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求+(2b-a); (2)已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y. 解 (1)原式=a-b-a+b+2b-a =a+b =-a+b =-(3i+2j)+(2i-j) =-i-5j. 课堂探究 (2)联立方程组 解得 课堂探究 解 =-a+b+c. ∵, 又=-=-, ∴a-b-c. 解题技巧:(用已知向量表示未知向量) 用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用. 课堂探究 解 根据三角形中位线定理可知DE平行且等于BC, 故,即a. =-a+b+a=-a+b. =-a-b+a=a-b. 题型三 向量共线定理的应用 例3 已知向量e1,e2不共线. (1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线; (2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值. 课堂探究 (1)证明 ∵=e1+e2, =2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2), ∴=5. ∴共线,且有公共点B. ∴A,B,D三点共线. (2)解 ∵ke1+e2和e1+ke2共线,e1+ke2≠0, ∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2), 即(k-λ)e1=(λk-1)e2. ∵e1与e2不共线, ∴解得k=±1. 课堂探究 解题技巧:(用向量共线定理证明两条直线平行或重合的思路) (1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行; (2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若向量=λ,则共线,又有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法. 跟踪训练3 (1)已知e1,e2是两 ... ...
