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课件网) 3.8 三元一次方程组 第3章 一次方程（组） 【2024新教材】湘教版数学 七年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 3.8 三元一次方程组 在学习了二元一次方程组及其应用后，我们会遇到一些更为复杂的问题，需要用含有三个未知数的方程组来解决，这就是三元一次方程组 。接下来，我们将深入学习三元一次方程组的相关知识，包括它的定义、解法以及实际应用。 一、三元一次方程组的定义与相关概念 （一）定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做三元一次方程 。例如\(x + y + z = 6\)，\(2x - y + 3z = 8\)等，这些方程都含有\(x\)、\(y\)、\(z\)三个未知数，且未知数的次数均为\(1\)，同时等号两边都是整式。 由三个三元一次方程组成的方程组叫做三元一次方程组 。例如\(\begin{cases}x + y + z = 9 \\ 2x - y + z = 5 \\ 3x + 2y - z = 2 \end{cases}\)，这个方程组由三个满足三元一次方程条件的方程构成，是典型的三元一次方程组。 （二）解的概念 使三元一次方程组中每个方程的左右两边的值都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解 。通常用大括号联立表示，如对于上述方程组，如果\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 3 \\ z = 5 \end{cases}\)能使方程组中的三个方程都成立，那么\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 3 \\ z = 5 \end{cases}\)就是该三元一次方程组的解 。 二、三元一次方程组的解法 （一）消元思路 解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组类似，都是通过消元，将其转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程来求解 。消元的方法主要有代入消元法和加减消元法 。 （二）代入消元法步骤 选择方程变形：从方程组中选择一个系数相对简单的方程，将其中一个未知数用另外两个未知数表示出来 。例如对于方程组\(\begin{cases}x + y + z = 8 \\ 2x - y = 1 \\ x + 2z = 5 \end{cases}\)，可由方程\(2x - y = 1\)变形得到\(y = 2x - 1\) 。 代入消元：把变形后的式子代入另外两个方程，消去这个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组 。将\(y = 2x - 1\)代入\(x + y + z = 8\)和\(x + 2z = 5\)，得到\(\begin{cases}x + (2x - 1) + z = 8 \\ x + 2z = 5 \end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}3x + z = 9 \\ x + 2z = 5 \end{cases}\) 。 求解二元一次方程组：运用代入消元法或加减消元法求解得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值 。对于\(\begin{cases}3x + z = 9 \\ x + 2z = 5 \end{cases}\)，可由\(3x + z = 9\)得到\(z = 9 - 3x\)，代入\(x + 2z = 5\)求解。 回代求第三个未知数：把求得的两个未知数的值代入变形后的式子，求出第三个未知数的值 。 写出方程组的解：用大括号联立三个未知数的值，写出方程组的解 。 （三）加减消元法步骤 观察并选择消元对象：观察方程组中各个方程的系数，选择一个容易消去的未知数 。例如对于方程组\(\begin{cases}x + y + z = 12 \\ 2x + 3y - z = 9 \\ 3x - 2y + z = 10 \end{cases}\)，可以发现\(z\)的系数相对容易通过加减消去。 进行加减消元：通过将方程组中的方程相加或相减，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程组 。将第一个方程\(x + y + z = 12\)与第二个方程\(2x + 3y - z = 9\)相加，消去\(z\)，得到\(3x + 4y = 21\)；将第一个方程\(x + y + z = 12\)与第三个方程\(3x - 2y + z = 10\)相减，消去\(z\)，得到\(-2x + 3y = 2\)，从而得到二元一次方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 21 \\ -2x + 3y = 2 \end{cases}\) 。 求解二元一次方程组：运用合适的方法求解二元一次方程组，得到两个未知数的值 。 回代求 ... ...
