专题1.12 三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】（举一反三）（北师大版）（含答案）2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题1.12 三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】 【北师大版】 【考点1 等腰三角形】 1 【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 2 【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】 4 【题型3 等边三角形的性质与判定】 5 【题型4 解决“一线”的最短路径问题】 7 【题型5 解决“两线”的最短路径问题】 8 【考点2 直角三角形】 9 【题型6 直角三角形全等的判定】 9 【题型7 直角三角形的性质的应用】 10 【题型8 勾股定理及其逆定理】 12 【题型9 命题与定理】 13 【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】 14 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 14 【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 15 【题型12 角平分线性质的应用】 17 【题型13 角平分线判定的应用】 18 【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】 19 【考点1 等腰三角形】 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题. 【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，和中，，，．边 ... ...