专题1.8 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】（举一反三）（北师大版）（含答案）2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题1.8 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】 【北师大版】 【题型1 作中线构造三线合一模型】 1 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 6 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 14 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 20 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 28 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 32 【题型7 旋转构造等腰三角形】 38 方法点拨：作中线构造三线合一模型 遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。 【题型1 作中线构造三线合一模型】 【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析 【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD． ∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF． ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）△DEF为等腰直角三角形． 证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD， ∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE， ∴△DAF≌△DBE（SAS）． ∴FD=ED，∠FDA=∠EDB． ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 本题考查直角三角形斜边中线的性质，四边形内角和定理，等腰三角形的判定与性质有关知识，如图，取的中点，连接，想办法证明，推出进而可解决问题． 【解答】 解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，中，，平分，且求证：． 【答案】证明：如图，取的中点，连接，则． ，． 平分，． 在和中， ． ． ，，， ． ． 又， ． ， ． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出≌，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中． 如图，取的中点，连接，则根据证明，得出再根据证，推出即可得出，此题得解． 【变式1-3】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【答案】解：如图，取中点连接， ， 是等腰三角形， 垂直且平分， ， ， ， 是角平分线， 在和中， ， ， ， 垂直， ， ． 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的三线合一，正确做出辅助线是解题的关键． 取中点连接，得出垂直且平分，再证明， ... ...