【新课预习衔接】3.4向量在立体几何中的应用（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册北师大版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 新课预习衔接 向量在立体几何中的应用 一．选择题（共5小题） 1．（2024 金东区校级模拟）已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（　　） A．1 B． C． D． 2．（2024 福州期末）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（2024 肇东市校级期末）已知A（1，0，1），是平面α的一个法向量，且B（﹣1，2，2）是平面α内一点，则点A到平面α的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（2024 辽阳期末）在平面四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD⊥CD，AD＝CD，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体B﹣ACD，若四面体B﹣ACD外接球的球心为O，当四面体B﹣ACD的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋 吕梁月考）若平面α的法向量（1，2，﹣3），直线l的方向向量（1，1，1），则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l∥α或l α 二．多选题（共2小题） （多选）6．（2024 博爱县校级期末）若平面α，β的法向量分别是，，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则（　　） A．α⊥β B．l∥α C．l与m为相交直线 D．在上的投影向量为 （多选）7．（2024 南岸区模拟）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P为空间一动点，若，则（　　） A．若λ＝μ，则点P的轨迹为线段BC1 B．若λ+μ＝1，则点P的轨迹为线段B1C C．存在λ，μ∈（0，1），使得AP⊥BC D．存在λ，μ∈（0，1），使得AP∥平面A1B1C1 三．填空题（共3小题） 8．（2024 徐汇区校级期末）直线m与平面α所成角为60°，则m与平面α内任意直线所成角的取值范围是 　 　． 9．（2024 博白县模拟）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为m，CB＝5m．又测得AB的长为5m，CD的长为m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 　 　． 10．（2024 洪山区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝3，BC＝6，，P为线段A1B1上的一点，且二面角A﹣BC﹣P的正切值为3，则三棱锥A﹣A1C1P的外接球的体积为 　 　． 四．解答题（共5小题） 11．（2024秋 广西月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别在AB，CC1，DD1上，且． （1）若，证明：EF∥平面AHD1． （2）求平面D1EF与平面ABCD夹角的余弦值． 12．（2024 扬中市校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，． （1）证明：AC⊥A1B； （2）求二面角A﹣CB1﹣B的正弦值． 13．（2024 周口二模）如图，在多面体DABCE中，△ABC是等边三角形，AB＝AD＝2，DB＝DC＝EB＝EC． （Ⅰ）求证：BC⊥AE； （Ⅱ）若二面角A﹣BC﹣E为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值． 14．（2024 山西模拟）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥平面ABB1A1，P为D1C1的中点，且PD＝PC． （1）求证：CC1⊥BD； （2）求平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值． 15．（2024 保定三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点E，点F在PC上，． （1）证明：DF⊥平面PBC； （2）若PA与平面BDF所成的角为α，平面PAD与平面PBC的夹角为β，求α+β． 新课预习衔接 向量在立体几何中的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024 金东区校级模拟）已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角． 【专题】转化思想；向量法；转化法； ... ...