中小学教育资源及组卷应用平台 柯西不等式 知识点一 柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式 若都是实数，则，当且仅当时，等号成立. （2）已知都是实数，则： （3）已知同号且不为0，则： 知识点二 权方和不等式 已知，则有：，（当且仅当时，等号成立）. 【题型一】整式与分式的最值 【例1】已知，，均为非负数，且，则的最小值为_____． 【答案】2 【解析】因为，，均为非负数，且，则， 所以由柯西不等式可得：， 所以；当且仅当，即， 由解得：，即时，等号成立. 故答案为：2. 【例2】已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则 的最小值为( ) A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【解析】 当且仅当时等号成立 变式1设a，b，c均为正数且，则的最小值为 【解析】 ()() ()．9 (2 3 4)2 81 9 变式2设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_____ 解：: ∴，最小值为18 【题型二】已知二次求一次 【例3】实数x、y满足，则的最小值是（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】实数x、y满足，， ，， 当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A. 【例4】设 且，求的最大值及最小值。 利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10 变式3设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【解析】根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时， 变式4设x，y，z R且，求的最大、小值。 【解析】∵ 由柯西不等式知 [42（)2 22] 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2| 5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7 故x y z之最大值为7，最小值为 3 【题型三】已知一次求二次 【例5】若实数，则的最小值为（ ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【解析】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立.故选：B. 变式5设x, y, zR，若，则之最小值为_____，又此时_____。 【解析】： ∴最小值。当且仅当： ∴ ∴ 变式6求函数的最大值 【解析】：∵且， 函数的定义域为，且， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由，得 即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 1．已知，且，则的最小值是 【答案】36 【详解】由 ， 所以，当且仅当，即时取等号． 2．已知则的最大值为 【答案】 【详解】由柯西不等式，则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 3．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为. 4．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 又，当且仅当， 即时，等号成立，则，又恒成立，所以，故的最小值为. 5．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知， ，当且仅当时取“”号．所以原式的最小值为． 6．已知，，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】∵ ∴,当且仅当时等号成立，即， ∵ ，当且仅当时等号成立，可取故答案为：9 7．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 【答案】 【详解】设函数在区间上的零点为，则，即，两边平方得，由柯西不等式可得， 当且仅当时等号成立，即，， 设，，则， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以当时，在上取最小值，即取最小值. 证明柯西不等式：， 证明： ， 即 故答案为：. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 柯西不等式 知识点一 柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式 若都是实数，则，当且仅当时，等号成立. （2）已知都是实数，则： （3）已知同号且不为0，则： 知识点二 权方和不等式 已知，则有：，（当且仅当时，等号成立）. ... ...
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