11.3.1 两数和乘以这两数的差 课件(共15张PPT) 2025-2026学年度华东师大版数学八年级上册

11.3.1 两数和乘以这两数的差 1. 理解两数和与这两数差的乘法公式的几何意义.（重点） 2. 理解并掌握两数和与这两数差的乘法公式结构，并能正确运算.（难点） 多项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘 转化 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加. 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn = － (a+b)(a-b) a2 b2 a a b b 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a-b)(a+b) a2 b2 计算下列各题，你发现什么规律： (x+5)(x-5)=_____=_____. (2+a)(2-a)=_____=_____. (2m+1)(2m-1)=_____=_____. x·x-5x+5x-5×5 x?-25 2×2-2a+2a-a·a 4-a? 2m·2m-2m+2m-1×1 4m?-1 前面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘. 由于(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a+b) (a-b) =a2-b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，也简称为平方差公式. 公式变形:1.(a-b)(a+b)=a2-b2 2.(b+a)(-b+a)=a2-b2 例1 计算: (1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y). 解:(1)(a+3)(a-3)=a2-32 =a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2. (3)(1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2. 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 例2 计算:1 998×2 002. 解：1 998×2 002 =(2 000-2)(2 000+2) =4 000 000-4 =3 999 996. =2 000?-2? 例3 街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(????＞2)，经统一规划后，南北向增加2 m，而东西向减少2 m，改造后得到一块长方形草坪，求这块长方形草坪的面积. ? 解:(a+2)(a-2)=a2-4. 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)m2. 1.平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a、b(　　) A．是数或单个字母 B．是单项式 C．是多项式 D．是单项式或多项式 D 2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　) A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a) C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b) A 3.计算20.82－21.8×19.8的结果是(　　) A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2 A 4.先化简，再求值：(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)，其中x＝32. ? 解：原式＝4－x2＋x2＋4x－5 ＝4x－1. 当x＝32时，原式＝6－1＝5. ? 5.已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值． 解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1 ＝2a2＋3a＋1， 因为2a2＋3a－6＝0， 所以2a2＋3a＝6. 所以2a2＋3a＋1＝7. 内容 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 注意 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 ... ...