1.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.理解并掌握椭圆的定义，并能利用其解决相关问题. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程，理解点与椭圆的位置关系. (一)椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作_____ 焦点 两个_____叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的_____叫作椭圆的焦距 微点助解 1.对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆. 2.对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 [基点训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.( ) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆.( ) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆.( ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.( ) (二)椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 2c a，b，c的关系 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同；不同点：焦点位置不同，方程不同 微点助解 (1)a，b，c(都是正数)为三边长，恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分)，a是斜边长，所以a＞b，a＞c，且a2＝b2＋c2(如图所示).另外，a＝|OA1|＝|OA2|＝|A1A2|.(A1，A2是图中椭圆与x轴的交点). (2)椭圆标准方程的形式：等号左边是“平方＋平方”，右边是“1”，特别注意右边不是0. (3)标准方程中根据x2和y2对应的分母大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. [基点训练] 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( ) A. B. C.(－∞，－3) D.(2，＋∞) 题型(一) 椭圆定义的理解 [例1] 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 听课记录： 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义； (2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). [针对训练] 1.[多选]设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是( ) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 2.已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值. 题型(二) 椭圆的标准方程 方法1 定义法求椭圆的标准方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为(0,2)，且椭圆经过点(－，). 听课记录： 定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. 方法2 待定系数法求椭圆的标准方程 [例3] (1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程； (2)求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程. 听课记录： 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2)设方程：设椭圆方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0).无法确定焦点位置时，可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B). (3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组. (4)得 ... ...
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