2025-2026学年人教B版数学必修第一册2.2.4.2 均值不等式的应用 课时练习(含详解)

2.2.4.2均值不等式的应用 一、选择题 1．设x＞0，则y＝的最大值是(　　) A．3　　　　　　 B．－3 C．3－2 D．－1 2．已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有(　　) A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 4．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 5．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(00，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立． 利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元均值不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥_____，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明． 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求证： (a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值． 答案解析 1．C　[∵x＞0， ∴y＝3－≤3－2＝3－2， 当且仅当3x＝，且x＞0， 即x＝时，等号成立．故选C．] 2．A　[因为a2－b＋4＝0， 所以b＝a2＋4， 所以＝＝， 因为a>0， 所以a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立， 所以＝，当且仅当a＝2时等号成立．故选A．] 3．B　[(1＋x)(1＋y)≤ ＝＝＝25， 当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时， (1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．] 4．C　[因为＝， 所以a>0，b>0， 因为＝≥2＝2， 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为2．] 5．A　[设甲地到乙地的路程为s， 则v＝＝． ∵02>0， ∴<＝． ∵v－a＝－a＝＝>0， ∴v>a． 综上可得，a0． 故y＝－≤－1． 当且仅当x－1＝， 即x＝0时等号成立． 故选D．] 7．ABC　[因为2a＋b＝1≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝时等号成立，A正确． 4a2＋b2≥＝，当且仅当2a＝b＝时等号成立，B正确． 由题意，得＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即2a＝b＝时等号成立，C正确． a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时等号成立．又因为2a＋b＝1，且a，b均为正数， 所以等号取不到，所以a＋>2，无最小值，D错误．故选ABC．] 8．56　[设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周 ... ...