第04讲 6.2.3向量的数乘运算 课程标准 学习目标 ①了解向量数乘的概念。 ②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算。 ③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念； 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法； 知识点01：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）任作一向量，再作向量，. 【答案】答案见解析 【详解】由知，与同向，模长为模长的2倍，由此作出； 由知，与方向相反，模长为模长的，由此作出； （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点02：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点03：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为 ， 所以与共线． 又因为与有公共的起点A，所以A，B，D三点共线． 题型01 几何图形中用已知向量表示未知向量 【典例1】（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）如图，在中，，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2022下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示） 【变式2】（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2023下·四川攀枝花·高一统考期末）在中，为上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 题型02 平面向量的混合运算 【典例1】（2023·高一课前预习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2023下·高一课时练习）计算： (1)； (2)． 题型03 向量共线的判定 【典例1】（2022·河南·校联考三模）已知、、均为非零向量，且，，则（ ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反 ... ...
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