4.1 数列的概念（2）（讲义.含解析）-2025-2026学年高二选择性必修第二册数学人教A版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 4.1 数列的概念(2) 模型1 由递推公式写出数列的项 3 模型2 由递推公式求通项公式-累加法 5 模型3 由递推公式求通项公式-累乘法 7 模型4 数列的通项an与前n项和Sn的关系 11 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点二　通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项an是序号n的函数式an＝f(n) 都可以确定数列 递推公式 已知一个数列的相邻两项或多项之间的关系式 知识点三　数列的前n项和 1．定义 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (2)显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝ 若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an. 给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识，即 (1)当an－an－1＝f(n)，且f(n)可求和时，有 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(累加) (2)当＝g(n)，且g(n)可求积时，有 an＝··…··a1.(累乘) (3)当数列{an}为周期数列，且周期为T(T为正整数)时，由an＝an＋T可将an转化为a1，a2，…，aT处理． 模型1 由递推公式写出数列的项 （2024秋 衡水月考）已知数列满足，则，则　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】根据题中递推公式代入运算即可． 【解答】解：由，， 可得； ； ． 故选：． 点拨 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (4)若项数很大，则应考虑数列是否具有周期性． 【变式练1】　（2024春 湛江期中）在数列中，已知，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知递推关系进行变形，然后结合等比数列的通项公式即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 因为，所以， 所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列， 所以， 所以，所以． 故选：． 【变式练2】　（2024秋 上虞区期末）已知数列满足，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据递推关系，求解即可得出答案． 【解答】解：， ． 故选：． 【变式练3】　（2024春 简阳市期中）在数列中，已知，，且，则　　 A．13 B．9 C．11 D．7 【答案】 【分析】根据递推公式，结合，，通过赋值，即可求得． 【解答】解：由题意可知，． 故选：． 模型2 由递推公式求通项公式-累加法 （2022秋 新化县期末）在数列中，，，则通项公式　　． 【答案】． 【分析】由题意得，利用累加法，即可得出答案． 【解答】解：，，即， 当时，，，，， 由累加法得， 当时，， 当时， ， 故答案为：． 点拨 形如an＋1－an＝d(d为非零常数)或an＋1－an＝f(n)(f(n)可以求和)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式． 【变式练1】　（2024春 皇姑区月考）已知数列满足且，的通项公式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由数列恒等式和等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式． 【解答】解：由数列满足且， 可得 （符合首项）． 故选：． 【变式练2】　（2024 平遥县开学）若数列满足且，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由条件可得，，由数列的裂项相消可得所求通项公式． 【解答】解：由时，，可得， 所 ... ...