13.3.1　三角形的内角 学案（原卷+答案） 2025-2026学年数学人教版八年级上册

13.3　三角形的内角与外角 13.3.1　三角形的内角 课时目标 1.探索并证明三角形的内角和定理,并能进行有关的计算和证明.(抽象能力、几何直观、推理能力) 2.探索并证明直角三角形的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明.(几何直观、推理能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.三角形的内角和定理 文字语言:三角形的内角和等于　180°　. 符号语言:如图,∠A+∠B+∠C=　180°　. 1.在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为(A) A.60° B.50° C.40° D.30° 2.直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角　互余　. (2)直角三角形的判定:有两个角　互余　的三角形是直角三角形. 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E,D分别在边AC,AB上,∠A=40°,若∠1=∠B,则△ADE是　直角　三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”) 重点　典例研析　启思凝智 重点1　三角形的内角和(几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P16T4拓展)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AE是边BC上的高. (1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数. (2)求证:∠DAE=(∠C-∠B). 【解析】(1)在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠DAC=∠BAC=30°. 在△ADC中,∠ADC=180°-∠C-∠DAC=80°. 在△ADE中,∠DAE=180°-∠ADC-∠AED=10°. (2)∵∠DAE=180°-∠ADC-∠AED =180°-∠ADC-90° =90°-∠ADC =90°-(180°-∠C-∠DAC) =90°-(180°-∠C-∠BAC) =90°-[180°-∠C-(180°-∠B-∠C)] =(∠C-∠B). ∴∠DAE=(∠C-∠B). 举一反三 如图,在△ABC中,∠A=26°,∠ABC=120°,CD是△ABC的角平分线,CE⊥AB交AB的延长线于点E,求∠DCE的度数. 【解析】在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=26°,∠ABC=120°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-26°-120°=34°,∵CD是△ABC的角平分线, ∴∠ACD=∠ACB=×34°=17°, ∵CE⊥AB,∴∠E=90°, ∵在△AEC中,∠A+∠E+∠ACE=180°, ∴∠ACE=180°-∠A-∠E=180°-26°-90°=64°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=64°-17°=47°,∴∠DCE的度数为47°. 重点2　直角三角形的判定和性质(模型观念、推理能力、几何直观) 【典例2】(教材再开发·P17T10拓展)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,且∠CAD=∠CBD,求证:△ABD是直角三角形. 【证明】在Rt△ABC中, ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∵∠CAD=∠CBD,∴∠ABD=∠CAD, ∴∠BAD+∠ABD=90°, ∴△ABD是直角三角形. 举一反三 在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则∠A的度数是 (B) A.36° B.45° C.72° D.68° 重点3　三角形内角和的应用(几何直观、应用意识) 【典例3】小明与同学一起去郊游,看到一棵大树斜靠在一小坡上,他借来测角仪和卷尺.如图,他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°,即∠ACB=30°,沿着CB方向向大树行进到点D,测得A的仰角为45°,即∠ADB=45°,又测得树AB的倾斜角∠1=75°.请利用他测出的角的度数,求∠CAD和∠BAD的度数. 【解析】∵∠ADB=45°,∴∠ADC=135°, ∴∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-135°-30°=15°. ∵∠1=75°,∴∠ABD=105°, ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-45°-105°=30°. 举一反三 (2025·重庆期中)如图,B处在A处的南偏西30°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的北偏东80°方向,则∠ACB的度数是(C) A.60° B.70° C.80° D.90° 素养　思维提升　入境深探 开放探索 新定义:在△ABC中,若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则△ABC称为“n倍角三角形”.例如,在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,则∠C=30°,因为∠A最大,∠C最小,且∠A=3∠C,所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△GEF中,若∠G=20°,∠E=60°,则∠F=_____,△GEF为“_____倍角 ... ...