1.2 数列的函数特性(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解数列可视作定义在正整数集(或其子集)上的函数概念,会画数列的图象. 2.会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性,会求数列的最大、最小项. 1.数列的图象 可以把一个数列视作定义在 (或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象. 2.数列的增减性 递增数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即 ,那么这个数列叫作 数列 递减数列 一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即 ,那么这个数列叫作 数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作 [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个数列,如果它不是递增数列,就是递减数列. ( ) (2)数列是特殊的函数,因此其图象是连续不断的曲线. ( ) (3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性. ( ) 2.已知数列{an}满足-an-3=0,则数列{an}是 ( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 3.[多选]下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) A. 1,,,,…,,… B.sinπ,sinπ,sinπ,…,sinπ,… C.-1,-,-,-,…,-,… D.1,,,…,,… 4.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为 ( ) A.5 B.11 C.10或11 D.36 题型(一) 判断数列的增减性 [例1] 写出数列1,,,,…的一个通项公式,并判断它的增减性. 听课记录: [思维建模] 解决数列的增减性问题的方法 作差法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列 作商法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断 图象法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性 [针对训练] 1.[多选]下列数列{an}(n∈N+)是递增数列的为 ( ) A.an= B.an=n2+n C.an=1-2n D.an=2n+1 2.已知数列{an}的通项公式为an=,画出它的图象,并判断增减性. 题型(二) 数列增减性的应用 [例2] 已知数列{an}的通项公式为an=若对任意n∈N+,都有an+1>an,则实数t的取值范围是 ( ) A.[3,+∞) B. C. D. 听课记录: [思维建模] 解决根据数列的增减性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系: 数列{an}递增 an+1>an(n∈N+); 数列{an}递减 an+1
an+1,则实数k的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C. D. 题型(三) 数列的最大、最小项 [例3] 已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N+.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 听课记录: [变式拓展] 若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解. [思维建模] 求数列最大、最小项的方法 (1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. (2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;设an最小,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值. [针对训练] 4.已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)× (n∈N+),试问数列{an}是否有最大项 若有,求出最大项;若没有,请说明理由. 1.2 数列的函数特性 课前环节 1.正整数集 2.>an 递增 0,可知>an,所以数列{an}是递增数列. 3.CD 4.选D ∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时,an取得最大值36. ... ... 