3.1.2 等比数列的性质及应用(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题,理解等比中项. 2.掌握等比数列的有关性质,并能解决一些简单问题. 1.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使得 成等比数列,那么根据等比数列的定义,=, ,G=±.我们称G为a,b的等比中项. 2.等比数列的性质 一般地,如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则 ,特别地,如果2s=p+q,则= . 3.等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列,则: ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列; ②{|an|}是公比为|q|的等比数列; ③{}(m为常数,n∈N+)是公比为qm的等比数列. (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. [基点训练] 1.若{an},{bn}都是等比数列,则下列数列仍是等比数列的是 ( ) A.{an+bn} B.{an-bn} C.{anbn} D.{an+5} 2.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7= ( ) A.-6 B.-2 C.2 D. 3.在等比数列{an}中,an>0,且a1a10=27,则log3a2+log3a9等于 ( ) A.9 B.6 C.3 D.2 题型(一) 等比中项及应用 [例1] (1)等比数列{an}中,a4=48,a8=3,则a4与a8的等比中项为 ( ) A.12 B.-12 C.±12 D.30 (2)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),a5是a4与a8的等比中项,则= ( ) A.- B.- C. D. 听课记录: [思维建模] 在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. [针对训练] 1.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则= . 2.已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 题型(二) 等比数列的性质及应用 [例2] 已知{an}为等比数列, (1)若a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 听课记录: [变式拓展] 1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值. 2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. [思维建模] 等比数列的运算常用的两条思路 (1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他; (2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N+) am·an=ak·al=. [针对训练] 3.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= ( ) A.6 B.9 C.±6 D.±9 4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 ( ) A.20 B.10 C.5 D. 题型(三) 等比数列的实际应用 [例3] 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱 听课记录: [思维建模] 解等比数列应用题的步骤 (1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意; (2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题; (3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数; (4)还原:即最后转化为实际问题作出回答. [针对训练] 5.某制糖厂2011年制糖5万吨,如果从2012年起,平均每年的产量比上一年增加20%,那么到哪一年,该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨 (结果保留到个位,lg 6≈0.778,lg 1.2≈0.079) 等比数列的性质及应用 课前环节 1.a,G,b G2=ab 2.asat=apaq apaq [基点训练] 1.选C 两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C. 2.选B a4a7=a1a10==-2. 3.选C 因为a2a9=a1a10=27, 所以log3a2+log3a9=log327=3. 课堂环节 [题型(一)] [例1] 解析:(1)记a4与a8的等比中项为G,则G2=a4a8=48×3=144,所以G=±12.故选C. (2)因为a5是a4与a8的等比中项, 所以=a4a8. 又因为数列{an}为等差数列,公差为d(d≠0), 所以(a1+4d)2=(a1+ ... ...
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