16.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质定理 课题 第1课时 线段垂直平分线的性质定理 课型 新授课 教学内容 教材第112-114页的内容 教学目标 1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理. 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题，能解决最短路径问题. 3.通过经历线段的垂直平分线的性质定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法. 教学重难点 教学重点：1.线段的垂直平分线的性质定理. 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题. 教学难点：灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入课题 师：上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形,而使世界更加美丽,那么大家想一想，线段是不是轴对称图形呢 它的对称轴是什么？ 生:线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的中垂线. 师:什么是线段的垂直平分线呢？ 学生思考抢答. 师：很好,这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容. 2.观察探究，学习新知 活动一:一起探究———线段垂直平分线的性质定理 如图所示，已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足. 在直线上任取一点P,连接PA，PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系？提出你的猜想说明理由. 学生猜想得出:事实上，因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合，线段PA和线段PB重合,从而PA=PB. 我们来证明这个猜想的正确性. 请同学们先根据这个命题画出图形（如图所示)，写出已知、求证. 已知:如图所示，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB. 求证PA=PB. 证明:在ΔPAO和ΔPBO中， ∵ ∴ΔPAO≌ΔPBO（SAS）, ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等）. 教师说明：经过刚才的证明我们得到这个猜想是正确的. 由已经被证实的猜想，得到了线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 师:分析定理的条件和结论. 点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB. （条件) (结论） 【过渡语】了解了线段垂直平分线的性质定理，应用线段垂直平分线的性质定理可以解决一些问题. 【教材例题】 例1 已知：如图所示,点A，B是直线外的任意两点,在直线l上，试确定一点P,使AP+BP最短. 解：如图所示,作点A关于直线l的对称点A’，连接A'B,交直线l于点P，则AP+BP最短. 引导学生分析，并说明理由. 【提出问题】 (1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上 学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P. （2）在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明. 学生小组内交流，教师指一名学生板演. 解:∵点A和点A'关于直线l对称， ∴AP=A'P. ∴AP+BP=A’P+BP=A’B（等量代换), 如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P'，连接AP’,BP’,A’P’，则A'P’+BP’≥A'B（两点之间线段最短). 即AP'+BP’=A’P’+BP’≥A'B=AP+BP. ∴AP+BP最短. 活动二:做一做———线段垂直平分线的性质的应用 已知：如图所示,D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E. 求证AC=AB. 分析: 证明：连接BC,因为点D,E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，所以CD，BE分别是AB，AC的垂直平分线,所以AC=BC,AB=CB，所以AC=AB. 3.学以致用，应用新知 考点1 轴对称图形 【例1】如图所示，在ΔABC中,AC=4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N,ΔBCN的周长是7 cm,则BC的长为（ ） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 解析:∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AN=BN， ∵ΔBCN的周长是7 cm,∴BN+NC+BC=7 cm， ∴AN+NC+BC=7 cm, ∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7 cm， 又∵AC=4 cm,∴BC=7—4=3(cm).故选C. 答案：C 考点2 最短路径问题 ... ...
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