第2课时 等差数列的前n项和的应用 (深化课题型研究式教学) 课时目标 能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 题型(一) 等差数列前n项和的实际应用 [例1] 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线 听课记录: [思维建模] 应用等差数列解决实际问题的一般思路 [针对训练] 1.老张为锻炼身体,增强体质,计划从下个月1号开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里,则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 ( ) A.8 B.9 C.13 D.14 题型(二) 等差数列前n项和的最值问题 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值. [例2] 在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值. 听课记录: [变式拓展] 1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n. 2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大 [思维建模] 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值. (2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值. (3)利用二次函数的图象的对称性. [针对训练] 2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 ( ) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 题型(三) 求数列{|an|}的前n项和 [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 听课记录: [思维建模] 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解. (2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn= (3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn= (4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. [针对训练] 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= ( ) A.578 B.579 C.580 D.581 第2课时 等差数列的前n项和的应用 [题型(一)][例1] 解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-. 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线. [针对训练] 1.选B 由已知可得这20天日跑步量成等差数列,记为{an},设其公差为d,前n项和为Sn,且a1=3,则S20=20a1+d,即20×3+d=98,解得d=,所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+.由an>5,得+>5,解得n>11,所以这20天中老张日跑 ... ...
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