第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列． (1)设，，求； (2)设，，求； (3)设，求． 【答案】(1)260 (2)21.7 (3)49 【详解】（1）依题意，． （2），于是，从而. （3）设公差为，则，，于是， 所以． 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】15 【详解】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 故答案为：15 题型01等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求n. 【答案】(1)，. (2)11 【详解】（1）设公差为，则由题意可得， 又， 所以，； （2）由（1）可知， 即，所以. 【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【答案】(1)2 (2)1596 (3)11 【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，故， 解得； （2）数列为等差数列，，， 设公差为d，故，解得， 则； （3）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，则，解得， 由，得， 解得或（舍去）， 故. 【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列， 设该等差数列为，前项和为，则，公差， 所以， 故这山的高度是. （2）由（1）可得，，解得（负值舍去）， 所以要经过落地. 【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【答案】(1)2700 (2) (3)． 【详解】（1）因为，，根据公式， 可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． （3）把，，代入， 得． 整理，得． 解得，或（舍去）． 所以． 题型02利用等差数列前项和公式判断 【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】解：依题意得，即， 所以数列为等差数列，且，， 设其公差为，则， 所以． 故答案为：. 【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， ... ...
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