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课件网) 11.2三角形全等的判定 （ASA）（AAS） 24.2.2垂径定理 垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 课堂讨论 根据已知条件进行推导： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 ① ⑤ ③④② ① ④ ③②⑤ ①③ ②④⑤ ① ④ ⑤ ② ③ （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 ①② ③④⑤ 垂径定理及逆定理 ●O A B C D M└ 条件 结论 命 题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。 注意要点 ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （注意特殊例外） 1.判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 圆内两条非直径的弦不能互相平分 挑战自我画一画 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM. ●O ●M 练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点 位置有 个。 p1 p2 P C 注意圆的轴对称性 3≤OP≤5 5 练习2.如上图，⊙O的直径是10， 线段OP的长为3，则过点P的所有弦中，①最大弦长为 ， ②最短弦长为 ，③弦长为整数 的有 条？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 连半径，构造 直角三角形 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗 A B 已知：⊙O中弦AB∥CD. 求证：AC＝BD ⌒ ⌒ 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . C D A B O 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？ 圆的两条平行弦所夹的弧相等 ⌒ M N 如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。 E 如图，两个圆都以点O为圆心，小圆 的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？ E ． 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. （1）.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm， ... ...
