1.3 几何证明举例 第3课时 学案（含答案）青岛版（2024）数学八年级上册

1.3　几何证明举例 第3课时 课时学习目标 素养目标达成 1.掌握直角三角形的性质定理和判定定理 几何直观、推理能力 2.会用直角三角形的性质定理和判定定理进行推理 几何直观、推理能力 3.认识反证法,会用反证法进行推理证明 推理能力 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 　 新知要点 对点小练 1.直角三角形的性质定理与判定定理 类型文字语言几何语言性质 定理直角三角形的两个锐角互余因为△ABC是直角三角形,所以∠A+∠B=90°判定 定理有两个角互余的三角形是直角三角形因为∠A+∠B=90°,所以△ABC是直角三角形图形 1.(1)如图,把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2的度数是(B) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.32° B.58° C.68° D.60° (2)将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为(C) A.75° B.95° C.105° D.120° 2.反证法 (1)定义:先提出与命题的结论相反的假设,再从假设出发推出矛盾,从而证明命题成立的方法. (2)步骤: ①否定结论———假设命题的结论不成立; ②推出矛盾———从假设出发,根据已知条件,经过推理,得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③肯定结论———由矛盾判定假设不成立,从而证明命题成立. 2.用反证法证明“当a<|a|时,a必为负数”. 证明:假设a不是负数,那么a是0或a是正数, 如果a是0,那么a=|a|,这与题设矛盾,所以a不可能是0; 如果a是正数,那么a=|a|,这与题设矛盾,所以a不可能是正数, 综上所述,a不可能是0,也不可能是正数,所以a必为负数. 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 【重点1】直角三角形的性质定理(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P16练习T2拓展)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数. 【自主解答】在Rt△ADC中,∠C=70°, 所以∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°; 在△ABC中,∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°, 因为AE,BF是△ABC的角平分线, 所以∠OAB=∠BAC=×50°=25°, ∠OBA=∠ABC=×60°=30°. 所以∠BOA=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-30°=125°. 【举一反三】 1.如图,在△ABC中,∠B=∠C,且D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,若∠EDF=70°,则∠AFD的度数是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.160° B.150° C.140° D.120° 2.(2024·德州德城区期中)如图,某同学无意中将课桌上一块三角尺叠放在直尺上,则∠1+∠2=90°. 【重点2】反证法(推理能力) 【典例2】用反证法证明:如果实数a,b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0. 【证明】假设a≠0或b≠0, 因为当a≠0且b≠0时,a2>0,b2>0, 所以a2+b2>0,所以与a2+b2=0矛盾, 同理可得当a≠0且b=0或a=0且b≠0时,a2+b2>0,与a2+b2=0矛盾,故假设不成立,原命题正确. 【举一反三】 1.玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时,应先假设这个三角形中(C) A.有一个内角大于60° B.有一个内角大于等于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° 2.若用反证法证明命题“若a3>b3,则a>b”,应先假设a≤b. 素养当堂测评　　(10分钟·15分) 1.(4分·几何直观、推理能力)在△ABC中,满足下列条件:①∠A=60°,∠C=30°; ②∠A+∠C=∠B;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=90°-∠C,能确定△ABC是直角三角形的有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(4分·推理能力)“在△ABC中,∠A和∠B的对边分别是a和b,若∠A<∠B,则ab B.a≥b C.a=b D.a≤b 3.(7分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,D为AB上一点,∠A=∠2,∠1=∠B. (1)判断△ABC的形状; (2)判断CD是否与AB垂直. 【解析】(1)△ABC是直角三角形,理由如下: 因为∠A=∠2,∠1=∠B, ∠A+∠2+∠1+∠B=180°, 所以 ... ...