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课件网) 第1课时 均值不等式 第二章 2.2.4 均值不等式及其应用 <<< 1.掌握均值不等式及其推导过程. 2.理解均值不等式的几何意义. 3.能初步运用均值不等式求最值. 学习目标 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 导 语 一、对均值不等式的理解 二、利用均值不等式求最值 课时对点练 随堂演练 内容索引 对均值不等式的理解 一 提示 正方形的边长AB=故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 问题1 提示 用分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题2 提示 方法一 (作差法) -===≥0， 即≥当且仅当a=b时，等号成立. 上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题3 方法二 (分析法) 要证≤只需证2≤a+b， 只需证2-a-b≤0， 只需证-(-)2≤0， 显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三 (几何法) 如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 提示 将均值不等式两边平方可得≥ab， 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab可以看 成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 探索均值不等式的几何意义. 问题4 算术平均值 给定两个正数a，b，数_____称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中， 的面积最大 a=b 正方形 (1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 注 意 点 <<< 下列命题中正确的是 A.当a，b∈R时+≥2 =2 B.若a<0，b<0，则≤ab C.当a>2时，a+的最小值是6 D.当a>0，b>0时≥ √ 例 1 A中，可能<0，所以A不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确； C中，a+≥2=6，当且仅当a=即a=3时，等号成立，所以C正确； D中，由均值不等式知≤(a>0，b>0)，所以D不正确. 解析 均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当a=b时≥的等号成立，即a=b =； ②仅当a=b时≥的等号成立，即= a=b. 反 思 感 悟 (多选)下列结论不正确的是 A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4 B.当x>0时+≥2 C.当x≥2时，x+的最小值为2 D.当0
0时+≥ 2=2，当且仅当=即x=1时，等号成立. 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x=即x=1，不满足 ... ... 