9.1 向量概念 (教学方式:基本概念课———逐点理清式教学) [课时目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,会用有向线段和字母表示向量. 2.理解向量的有关概念:零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等. 逐点清(一) 向量的概念与表示 [多维理解] 1.向量的定义与表示 定义 既有 又有 的量叫作向量 表示 方法 ①几何表示:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的 ,箭头所指的方向表示向量的 .以A为起点、B为终点的向量记为 . ②字母表示:用小写字母a,b,c来表示 2.模、零向量、单位向量 长度(模) 向量的 称为向量的长度(或称为模),记作 零向量 长度为 的向量称为零向量,记作0,零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于 的向量,叫作单位向量 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素. (4)零向量方向任意,不能认为零向量无方向. (5)向量不能比较大小,向量的模为非负实数,能比较大小. [微点练明] 1.(多选)已知向量a如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 2.下列命题正确的是 ( ) A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量 3.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,那么这些向量的终点形成的图形是 ( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量,,; (2)求||. 逐点清(二) 平行向量、相等向量及相反向量 [多维理解] 平行 向量 方向 的非零向量叫作平行向量,平行向量又称为共线向量. ①记法:向量a与向量b平行,记作 . ②规定:零向量与 平行 相同的 向量 所有长度 且方向 的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量,也称a与b相等,记作 相反 向量 ①把与向量a长度相等,方向 的向量叫作a的相反向量,记作 ,a与-a互为相反向量.对任意一个向量a,总有-(-a)= . ②规定:零向量的相反向量仍是 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行,忽视这一点容易出现错误. [微点练明] 1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 ( ) A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量 2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 3.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 ( ) A.向量,的模相等 B.||= C.向量,共线 D.||+||=10 4.如图,E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点. (1)在以A,B,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量共线的向量; (2)在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,找出与向量的模相等的向量; (3)在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,找出与向量相等的向量. 逐点清(三) 向量的夹角与垂直 [多维理解] (1)定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). (2)范围: . (3)当θ= 时,a与b ... ...
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