9.2.3 向量的数量积 第1课时 向量的数量积 (教学方式:基本概念课———逐点理清式教学) [课时目标] 1.通过物理中功等实例,理解向量数量积的概念及意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握平面向量数量积运算律及运算性质,并能解一些简单问题. 逐点清(一) 向量的数量积 [多维理解] 1.向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量 叫作向量a和b的数量积 记法 记作a·b,即a·b= 规定 零向量与任一向量的数量积为 2.向量的夹角、垂直及模 (1)设两个非零向量a和b的夹角为θ,则cos θ= . (2)a⊥b (a,b是两个非零向量). (3)a·a=|a|2或|a|= . |微|点|助|解| (1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定. [微点练明] 1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于 ( ) A.3 B.-3 C.-3 D.3 2.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.若a与b满足|a|=|b|=1,
=60°,则a·a+a·b等于 ( ) A. B. C.1+ D.2 4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a= ( ) A.3 B.-3 C. D.- 5.已知向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=1,则|a+2b|= ( ) A.1 B. C.2 D. 逐点清(二) 投影向量 [多维理解] 1.投影向量的定义 设a,b是两个非零向量,如图,表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为 上的投影向量.设向量a,b的夹角为θ,则= . 2.向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的 的数量积. |微|点|助|解| (1)a与b平行时,a在b上的投影向量是其本身;a⊥b时,a在b上的投影向量为0. (2)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. [微点练明] 1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影向量的模为 ( ) A.1 B. C. D. 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为 ( ) A.- B. C.- D. 4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·b=-3,则b在a上的投影向量为 ( ) A.-a B.-a C.-a D.-a 逐点清(三) 数量积的运算律及运算性质 [多维理解] 1.向量数量积的运算律 交换律 a·b= 结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b 分配律 (a+b)·c= 2.向量数量积的运算性质 设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|. (3)|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时等号成立. |微|点|助|解| (1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. [微点练明] 1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 ( ) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0 a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b)·(b-2a)= ( ... ... 