9.4向量应用 (教学方式:拓展融通课———习题讲评式教学) [课时目标] 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法. 2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. 题型(一) 平面向量在物理中的应用 [例1] 如图,一条河两岸平行,河的宽度AC= km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|,水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求: (1)|v1|; (2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值. 听课记录: |思|维|建|模| 向量方法解决物理问题的步骤 [针对训练] 1.设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为, 如图所示. (1)求F3的大小; (2)求F2与F3的夹角. 题型(二) 向量在平面几何证明中的应用 [例2] 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点. 求证:AF⊥DE. 听课记录: |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. [针对训练] 2.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 题型(三) 利用平面向量求几何中的长度问题 [例3] 已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为AB的中点,求证:CD=AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 听课记录: |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. [针对训练] 3.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 9.4 向量应用 [例1] 解:(1)因为船只在河内行驶的路程AB=2 km,行驶时间为0.2 h,所以船只沿AB方向的速度为|v|==10 km/h. 由AC= km,AB=2 km,根据勾股定理可得BC==1 km,所以∠BAC=30°,即
=60°. 由v=v1+v2,得v1=v-v2, 所以|v1|== ==2. (2)因为v=v1+v2,所以v2=(v1+v2)2, 即100=(2)2+2×2×2cos+22,解得cos=.即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为. [针对训练] 1.解:(1)由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为, 所以|F3|=|F1+F2| ==. (2)设F2与F3的夹角为θ, 因为F1=-(F2+F3),两边平方得 1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-. 所以θ=. [例2] 证明:法一 设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0. 又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥,即AF⊥DE. 法二 如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以⊥,即AF⊥DE. [针对训练] 2.证明:∵⊥,⊥,∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. [例3] 解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D.∴||= . ∵||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴设=λ. 即(x,-m)=λ, 则 解得λ=,x=.∴F. ∴||= , 即AF= . [针对训练] 3.解:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b|= ===2,∴5-2a·b=4,∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.( ~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~