学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长的含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型. 导语 同学们，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、平均变化率 问题1 如图，请分别计算两个函数在x=1和x=2处的函数值，你能判断两个函数在区间[1，2]上函数值增加的快慢吗？ 提示 第一个f(1)=1，f(2)=，第二个f(1)=1，f(2)=8，显然第二个f(2)- f(1)大，函数值增加的快. 知识梳理 函数y=f(x)从x1到x2(x1≠x2)的平均变化率 (1)定义式：=. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2](x1x2时)上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y=f(x)上的任意不同的两点， 函数y=f(x)的平均变化率==为直线AB的斜率，如图所示. 注意点： Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 例1 (课本例1)已知函数y=2x，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 解 设1≤x1v2>v1 解析 (1)Δx=0.3时，y=x在x=1附近的平均变化率k1=1；y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2+0.3=2.3；y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3+3×0.3+0.32=3.99；y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.所以k3>k2>k1>k4. (2)v1==kOA， v2==kAB， v3==kBC， 又因为kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)求Δy=f(x2)-f(x1). (2)求Δx=x2-x1. (3)求平均变化率=. 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=x2在x0与x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx与x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( ) A.k1k2 C.k1=k2 D.无法确定 答案 D 解析 k1==2x0+Δx， k2==2x0-Δx， 又Δx可正可负且不为零， 所以k1，k2的大小关系不确定. (2)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( ) A.在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 B.在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 C.在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 D.在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 答案 C 解析 由图象知，在0到t0范围内v甲=v乙=，所以A，B错误； 在t0到t1范围内，v甲=，v乙=. 因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0， 所以v甲>v乙.所以C正确，D错误. 二、几种常见函数模型的增长差异的比较 问题2 你能根据函数 y=2x，y=log2x，y=2x的图象，看出这三个函数图象的变化情况吗？函数的增长速度又如何？ 提示 (1)y=2x随x的增大逐渐变“陡峭”； (2)y=log2x随x的增大逐渐变 “平缓”； (3)y=2x随x的增大匀速上升. y=2x的增长速度快于y=2x，y=2x的增长速度快于y=log2x. 知识梳理 三种常见函数模型的 ... ...
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