6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 基础过关练 题组一 对共线向量基本定理的理解及应用 1.平面向量a,b共线的充要条件是( ) A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C. λ∈R,使b=λa D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0 2.已知向量a与b不共线. (1)若=a+7b,=3a+4b,=a-10b,证明A,B,D三点共线; (2)若a+kb与(k+1)a+b共线,求实数k的值. 题组二 对平面向量基本定理的理解 3.下列说法中正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可组成该平面内向量的基底; ②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面内向量的基底; ③零向量不可以作为基底中的向量. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 4.(多选题)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个 C.若λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0 5.设{e1,e2}是平面内向量的一组基底,则下列不能组成平面内向量的一组基底的是( ) A.e2和e1+e2 B.e1和e1-e2 C.2e1-4e2和-e1+2e2 D.e1+2e2和2e1+e2 题组三 用基底表示向量 6.若=a,=b,(λ∈R,且λ≠-1),则=( ) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b 7.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE和BD相交于点F.记=a,=b,则( ) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b 8.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4CD,点E在线段CB上,且CE=3EB,设=a,=b,则=( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 9.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( ) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 题组四 平面向量基本定理的应用 10.如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点,若,则实数m的值为( ) A. 11.在△ABC中,D是CB延长线上一点,E是AD的中点.若(λ,μ∈R),则( ) A.λ=2μ B.λ=-2μ C.μ=2λ D.μ=-2λ 12.如图,△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,点P是四边形ABDC内任意一点(含边界),且(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 13.(多选题)在等边三角形ABC中,,AD与BE交于F,则下列结论正确的是( ) A. C. 14.在△ABC中,点D满足BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是 . 15.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点. (1)用; (2)求; (3)设(x,y∈R),求xy的取值范围. 能力提升练 题组一 共线向量定理的应用 1.已知向量a,b,c中的任意两个都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=( ) A.a B.b C.c D.0 2.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( ) A.若,则 B.若,则点M,B,C三点共线 C.若点M是△ABC的重心,则=0 D.若且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 3.如图,在平行四边形ABCD中,AE=ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若,则实数λ= . 4.如图,在△ABC中,,P为CD上一点,且满足(m∈R),则m的值为 . 题组二 平面向量基本定理的应用 5.数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若=a,=b,,则=( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 6.在△ABC中,,E是AB的中点,EF与AD交于点P,若(m,n∈R),则m+n=( ) A. D.1 7.已知△ABC中,M为BC边上 ... ...
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