(课件网) 培优课 等差数列 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用等差数列前 n 项和求解项的比值问题 【例1】 已知两个等差数列{ an }，{ bn }的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ， 若 ＝ ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 解析： 利用等差数列前 n 项和的性质得 ＝ ＝ ＝ . 通性通法 若{ an }，{ bn }为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，则 ＝ ， ＝ · . 【跟踪训练】 （2024·济宁月考）已知 Sn ， Tn 分别是等差数列{ an }，{ bn }的前 n 项和，且 ＝ ，则 ＝ . 解析： ＝ × ，即 ＝ × ，所以 ＝ × ＝ . 题型二 两等差数列公共项问题 【例2】 已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100 项，则它们共同的项有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 11个 D. 36个 解析： 数列4，7，10，…的首项 a1＝4，公差 d1＝3，通项公式为 an ＝3 n ＋1.数列8，12，16，…的首项 b1＝8，公差 d2＝4，通项公式 为 bm ＝4 m ＋4.它们的末项分别为 a100＝301， b100＝404，它们相同的 项为 an ＝ bm ，3 n ＋1＝4 m ＋4， n ＝ ＋1，其中 n ， m ∈N*，所以 m ＝3 k （ k ∈N*），即 n ＝4 k ＋1. a4 k＋1＝3（4 k ＋1）＋1＝12 k ＋ 4≤301，解得 k ≤24 ，取 k ＝24. 通性通法 有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先 利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的 最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二 是从通项公式入手，建立 am ＝ bn 这样的方程，利用 n ＝ f （ m ），借 助 n ， m 均为正整数，得到 n （或 m ）可取的整数形式，再求一定范 围内的整数解，从而解决问题. 【跟踪训练】 已知两个等差数列{ an }：5，8，11，…，与{ bn }：3，7，11，…， 它们的公共项组成数列{ cn }，则数列{ cn }的通项公式 cn ＝ ；若数列{ an }和{ bn }的项数均为100，则{ cn }的项数是 . 解析：由于数列{ an }和{ bn }都是等差数列，所以{ cn }也是等差数列， 且公差为3×4＝12，又 c1＝11，故 cn ＝11＋12（ n －1）＝12 n －1.又 a100＝302， b100＝399.所以解得1≤ n ≤25.25，故{ cn }的项数为25. 12 n － 1 25 题型三 构造等差数列的应用 【例3】 已知数列{ an }满足 an＋1＝ ，且 a1＝3（ n ∈N*）. （1）求证：数列{ }是等差数列； 解：证明：由题意得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ， 所以 － ＝ ，故数列{ }是等差数列. （2）求数列{ an }的通项公式. 解： 由（1）知 ＝ ＋（ n －1）× ＝ ，所以 an ＝ . 通性通法 当已知数列{ an }不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差 数列，利用等差数列的通项公式，求出含 an 的式子与 n 的关系式，进 而求出 an .由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（ an＋2－ an＋1）－（ an＋1－ an ）＝常数，则数列{ an＋1－ an }是等差数列； （2）转化为 － ＝常数，则数列 是等差数列； （3）转化为 － ＝常数，则数列 是等差数列； （4）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列； （5）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列. 【跟踪训练】 在数列{ an }中，若 a1＝1，3 anan－1＋ an － an－1＝0（ n ≥2， n ∈N*），求数列{ an }的通项公式. 解：由已知3 anan－1＋ an － an－1＝0， 在等式两侧同除以 anan－1，得3＋ － ＝0 － ＝3， 即数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列， 故有 ＝1＋3（ n －1） an ＝ . 题型四 求数列{｜ an ｜}的前 n 项和 【例4】 （2023·全国乙卷18题）记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和， 已知 a2＝11， S10＝40. （1）求{ ... ...
