(课件网) 第3课时 等差数列的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 等差数列与一次函数的关系 【例1】 （2024·青岛月考）在数列{ an }中， a1＝3， a10＝21，已知 an ＝ pn ＋ q （ p ， q 为常数），则 a2 024＝（ ） A. 4 046 B. 4 047 C. 4 048 D. 4 049 解析： 法一 根据题意可知数列{ an }为等差数列，则公差 d ＝ ＝2，故 a2 024＝ a1＋（2 024－1） d ＝3＋2 023×2＝4 049. 法二 由题易得数列{ an }为等差数列，则 ＝ ，解得 a2 024＝4 049. 通性通法 利用一次函数的性质解等差数列问题的思路 （1）若 d ＞0，则该数列为递增数列，若 d ＝0，则该数列为常数列， 若 d ＜0，则该数列为递减数列； （2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤 立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（ n ， an ）（ n ∈N*）共线且 ＝ d （ d 为等差数列的公差）. 【跟踪训练】 1. 已知（1，3），（3，－1）是等差数列{ an }图象上的两点，若5是 p ， q 的等差中项，则 ap ＋ aq ＝ . 解析：法一 设等差数列的通项公式为 an ＝ xn ＋ y ，代入点的坐标 得解得即 an ＝－2 n ＋5，由于5是 p ， q 的等差中项，故 p ＋ q ＝10，所以 ap ＋ aq ＝2 a5＝2×（－10＋5） ＝－10. －10 法二 由题意知，（1，3），（3，－1），（5， a5）三点共线，所 以 ＝ ，所以 a5＝－5.由于5是 p ， q 的等差中项，故 p ＋ q ＝10，所以 ap ＋ aq ＝2 a5＝－10. 解： 设等差数列{ an }的公差为 d ，由 a3＝3， ＝ ， 得（ a3＋ d ）2＝（ a3＋2 d ）2， 即（3＋ d ）2＝（3＋2 d ）2，整理得 d2＋2 d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝－2，当 d ＝0时， an ＝3，当 d ＝－2时， a1＝3－2 d ＝ 7， an ＝ a1＋（ n －1） d ＝9－2 n . 2. 已知等差数列{ an }中， a3＝3， ＝ . （1）求{ an }的通项公式； （2）判断{ an }的单调性. 解： 当 an ＝3时，数列是常数列，{ an }不具有单调性； 当 an ＝9－2 n 时，显然 an ＝9－2 n ＞ an＋1＝7－2 n ，{ an }是递 减数列. 题型二 等差数列中项的设法 【例2】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项 的6倍，求这三个数； 解： 设这三个数依次为 a － d ， a ， a ＋ d ， 则 解得所以这三个数为4，3，2. （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－ 8，求这四个数. 解： 设这四个数依次为 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d （公差为2 d ）， 依题意得2 a ＝2且（ a －3 d ）（ a ＋3 d ）＝－8， 即 a ＝1， a2－9 d2＝－8， 所以 d2＝1，所以 d ＝1或 d ＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以 d ＞0， 所以 d ＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 通性通法 等差数列的设项方法和技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项 为 a1，公差为 d ，利用已知条件建立方程（组）求出 a1和 d ，即 可确定此等差数列的通项公式； （2）当已知数列有3项时，可设为 a － d ， a ， a ＋ d ，此时公差为 d . 若有5项、7项、……，可同理设出； （3）当已知数列有4项时，可设为 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d ， 此时公差为2 d .若有6项、8项、……，可同理设出. 【跟踪训练】 已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为 40，求这四个数. 解：设这四个数依次是 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d （ a ， d ∈R）. 可得 解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 题型三 等差数列的实际应用 【例3】 某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元， ... ...
