(课件网) 5.1.2 导数的概念及其几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时 变化率的数学表达 数学抽象 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、 直观想象 3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义， 会求曲线上某点处的切线方程 数学运算、 直观想象 第1课时 导数的概念 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如： （1）摩托车的运动方程为 s ＝8＋3 t2， 其中 s 表示位移， t 表示时间，知道 它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛； （2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； （3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 【问题】 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学 意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上 称为什么？ 知识点一 函数的平均变化率 对于函数 y ＝ f （ x ），设自变量 x 从 x0变化到 x0＋Δ x ，相应地，函 数值 y 就从 f （ x0）变化到 f （ x0＋Δ x ）.这时， x 的变化量为Δ x ， y 的 变化量为Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）.我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数 y ＝ f （ x ）从 x0到 x0＋Δ x 的平均 变化率. 提醒 的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之 比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况. 知识点二 导数的概念 1. 定义：如果当Δ x →0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的 值，即 有 ，则称 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处 ，并把 这个确定的值叫做 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数（也称为瞬时变化 率）. 2. 写法：记作f'（ x0）或y' ，即f'（ x0）＝ ＝ . 极限 可导 提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点 x0的附近有定义，否则 导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0及其附近的函数值有关，与Δ x 无关；③导数的实质是一个极 限值. 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在 x ＝ x0处的导数反映了函数在区间[ x0， x0＋Δ x ]上变 化的快慢程度. （ × ） （2）函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数值与Δ x 的正、负无关. （ √ ） （3）设 x ＝ x0＋Δ x ，则Δ x ＝ x － x0，则Δ x 趋近于0时， x 趋近于x0， 因此，f'（ x0）＝ ＝ . （ √ ） × √ √ 2. 设函数 y ＝ f （ x ）＝ x2－1，当自变量 x 由1变为1.1时，函数的平均 变化率为（ ） A. 2.1 B. 1.1 C. 2 D. 0 解析： ＝ ＝ ＝2.1. 3. 设 f （ x ）＝2 x ＋1，则f'（1）＝ . 解析：f'（1）＝ ＝ ＝2. 2 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 求函数的平均变化率 【例1】 已知函数 h （ x ）＝－4.9 x2＋6.5 x ＋10. （1）计算从 x ＝1到 x ＝1＋Δ x 的平均变化率，其中Δ x 的值为①2； ②1；③0.1；④0.01； 解：∵Δ y ＝ h （1＋Δ x ）－ h （1）＝－4.9（Δ x ）2－3.3Δ x ， ∴ ＝－4.9Δ x －3.3. ①当Δ x ＝2时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－13.1； ②当Δ x ＝1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－8.2； ③当Δ x ＝0.1时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.79； ④当Δ x ＝0.01时， ＝－4.9Δ x －3.3＝－3.349. ... ...
