第24章 解直角三角形 专题训练六 求锐角三角函数值的方法 （含答案）华东师大版九年级上册

专题训练六　求锐角三角函数值的方法　　　　 定义法 1.(2025扬州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则sin A的值为 (　　) A. B. C. D.2 2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是 (　　) A. B. C. D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,求sin C、cos C、tan C的值. 4.如图,根据提供的数据回答下列问题: 图1　图2 (1)在图1中,sin A=　　　　,cos A=　　　　,sin2A+cos2A=　　　　;在图2中,sin A1=　　　　,cos A1=　　　　,sin2A1+cos2A1=　　　　. 通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规律 用一个一般的式子把你发现的规律表示出来,并加以证明. (2)在图1中,tan A=　　　　,=　　　　;在图2中,tan A1=　　　　,=　　　　. 通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规律 用一个一般的式子把你发现的规律表示出来,并加以证明. 设参数 5.(2024资阳中考)第14届国际数学教育大会会标如图1所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE、△BCF、△CDG、△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3,则sin ∠ABE= (　　) 图1　　图2 A. B. C. D. 6.在Rt△ABC中,AC=2BC. (1)求cos A的值. (2)当AB=10时,求BC的长. 等量转化法 7.如图,有两个全等的正方形ABCD和BEFC,则tan(∠BAF+∠AFB)=　　　　. 8.(2025石家庄桥西区月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=8,BC=6,求sin ∠BCD与cos ∠BCD的值. 9.(跨学科)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上的点E反射后照射到点B,若入射角为α,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D,且AC=3,BD=6,CD=11,求tan α的值. 构造直角三角形 10.(2025邵阳期中)∠BAC放在正方形网格纸的位置如图,则tan ∠BAC的值为 (　　) A. B. C. D. 11.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin ∠ABO的值等于　　　　. 12.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tan B=. (1)求BC的长. (2)利用此图形求tan 15°的值(结果精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2). 【详解答案】 1.C　解析:∵Rt△ABC中,∠C=90°, AC=1,BC=2,∴AB=, ∴sin A=.故选C. 2.B　解析:由点A的坐标为(4,3),得OA==5,∴cos α=.故选B. 3.解:∵Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC==5, 则sin C=,cos C=,tan C=. 4.解:(1)　　1　　　1 规律:对于任意锐角α, 有sin2α+cos2α=1. 证明:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. ∵sin α=,cos α=,c2=a2+b2, ∴sin2α+cos2α==1. (2)　　　 规律:对于任意锐角α,有tan α=. 证明:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.∵tan α=,, ∴tan α=. 5.C　解析:根据题意,设EF=x,则AH=3x,∵△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形,∴AH=BE=3x,EF=HE=x,∴AE=4x,∵∠AEB=90°,∴AB==5x, ∴sin ∠ABE=.故选C. 6.解:(1)在Rt△ABC中,AC=2BC, 设BC=x,则AC=2x,当AC是斜边时,AB=x, 则cos A=;当AC是直角边时,AB=x, 则cos A=. 综上,cos A的值为或. (2)在Rt△ABC中,AC=2BC, 设BC=x,则AC=2x, 当AC是直角边时,(2x)2+x2=100,解得x=2(负值舍去). 当AC是斜边时,(2x)2=x2+100,解得x=(负值舍去). 综上,BC的长为或2. 7.1　解析:根据三角形外角的性质,得∠BAF+∠AFB=∠FBE.∵四边形BEFC是正方形,∴BE=EF. ∴tan(∠BAF+∠AFB)=tan ∠FBE==1. 8.解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠BDC=∠ACB=90°, ∴∠B+∠BCD=90°,∠B+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A,∵AC=8,BC=6, ∴AB==10, ∴sin ∠BCD=sin A=,cos ∠BCD=cos A=. 9.解:根据已知条件可得∠CAE=α. ∵AC⊥CD,BD⊥CD, ∴∠ACE=∠BDE=90°. 又∵∠AEC=∠BED, ∴△ACE∽△BDE,∴, 即,解得CE=. 在Rt△AEC中, tan ∠CAE=, 即tan α=. 10.D　解析:如图,连结CD, 设每个小正方形的边长均为1, 则AD==2, CD=, AC=,∵(2)2+()2=()2,∴ ... ...