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课件网) 1.平方关系:sin2α+cos2α=1. 2.商数关系: =tan α,α≠kπ+ ,k∈Z. 5.2 三角函数的概念 知识点 1 同角三角函数的基本关系 知识 清单破 5.2.2 同角三角函数的基本关系 知识辨析 1.对任意角α,sin2 +cos2 =1都成立吗 2.若已知sin α= ,能确定cos α的值吗 一语破的 1.都成立. 2.能确定,但不唯一.cos α=± . 定点 1 利用同角三角函数的基本关系求值 关键能力 定点破 1.已知一个三角函数值求其余两个三角函数值 (1)已知sin θ(或cos θ)求cos θ(或sin θ)、tan θ的方法: (2)已知tan θ求sin θ、cos θ的方法: ①将 =tan θ与sin2θ+cos2θ=1联立; ②利用cos2θ= = 求出cos θ的值,再利用sin θ=cos θtan θ求出sin θ的值(也可 用同样的方法先求sin2θ的值). 2.关于sin α,cos α的齐次式的求值问题 (1)已知tan α的值,可以求 或 的值,方法是将分子、分母 同时除以cos α或cos2α,将其化成关于tan α的式子,再代入tan α的值求解. (2)asin2α+bsin αcos α+ccos2α的分母为1,利用1=sin2α+cos2α化成(1)中的齐次式. 3.利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 若已知sin α±cos α,sin αcos α中的一个,则可以利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α求出另外两个, 进一步求得sin α,cos α的值,从而解决相关问题. 典例1 (1)已知α∈ ,tan α=2,求cos α,sin α的值; (2)已知sin α=- ,求cos α,tan α的值. 解析 (1)解法一:由已知得 由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,所 以cos2α= ,又α∈ ,所以cos α<0,所以cos α=- ,所以sin α=2cos α=- . 解法二:因为tan α=2,sin2α+cos2α=1, 所以cos2α= = = , 又α∈ ,所以cos α<0,所以cos α=- ,所以sin α=cos αtan α=- . (2)因为sin α<0,sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1- = . 如果α是第三象限角,那么cos α<0, 于是cos α=- ,tan α= = ; 如果α是第四象限角,那么cos α>0, 于是cos α= ,tan α= =- . 综上,当α是第三象限角时,cos α=- ,tan α= ;当α是第四象限角时,cos α= ,tan α=- . 典例2 已知sin α+cos α= ,α∈(0,π). (1)求2sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值; (3)求sin α,cos α,tan α的值. 解析 (1)∵sin α+cos α= , ∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , ∴2sin αcos α=- . (2)∵2sin αcos α=- <0,且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0,∴α∈ , ∴sin α-cos α= = = . (3)由 得 ∴tan α= =- . 利用同角三角函数的基本关系化简或证明 常用的方法技巧 (1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少式中函数名称. (2)对于含有根号的三角函数式,常把被开方的式子化成完全平方式,然后去根号. (3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造出sin2α+cos2α=1,以降低次数. 定点 2 典例1 若sin α·tan α<0,化简 + . 解析 ∵sin α·tan α<0,∴cos α<0. 原式= + = + = + =- . 典例2 (1)求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ· = + ; (2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 思路点拨 (1)从较烦琐的左侧向右侧证明,左侧式子中有正弦、余弦、正切,所以可以将切 化弦进行整理.(2)将给出的条件切化弦,再将余弦利用平方关系化为正弦,以结论为目标推理 得证. 证明 (1)左边=sin θ +cos θ =sin θ+ +cos θ+ = + = + = + =右边, 所以原等式成立. (2)由tan2α=2tan2β+1, 可得 = = , 即sin2α-sin2αsin2β=cos2α+cos2αsin2β, 所以sin2β= =sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1,所以得证.(
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