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课件网) 知识点 1 充分条件与必要条件 知识 清单破 1.2.3 充分条件、必要条件 如果p q且q p,则称p是q的充分不必要条件. 如果p q且q p,则称p是q的必要不充分条件. 如果p q且q p,则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件),记作p q,此时,也读作“p 与q等价”“p当且仅当q”. 如果p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 知识点 2 充要条件 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)如果A B,那么p(x) q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件; (2)如果A=B,那么p(x) q(x),因此p(x)是q(x)的充要条件; (3)如果A B,那么p(x) q(x)且q(x) / p(x),因此p(x)是q(x)的充分不必要条件; (4)如果B A,那么p(x) / q(x)且q(x) p(x),因此p(x)是q(x)的必要不充分条件. 知识点 3 用集合知识理解充分条件、必要条件、充要条件 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” . 1.x>1是x2>1的充分条件. ( ) √ 2.“△ABC是等腰三角形”是 “A=B”的充要条件. ( ) 3.a,b∈R,“ab=0”是“a2+b2=0”的必要条件. ( ) √ 4.集合A={x|x>1},B={x|x>2},则“x∈A”是“x∈B”的充分条件. ( ) 提示 易知B A,所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件,“x∈A”是“x∈B”的必要条件. 疑难 情境破 疑难 1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 情境探究 观察以下4个电路图. 问题1 ①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件 提示 充分不必要条件. 问题2 ②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件 提示 必要不充分条件. 问题3 ③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件 提示 充要条件. 问题4 ④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件 提示 既不充分也不必要条件. 问题5 将①中开关A与灯泡B的位置互换,开关C始终是断开状态,问题1中结论变为什么 提示 变为充要条件. 充分条件、必要条件的判断主要有以下几种方法: (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)传递法:根据充分、必要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若A1 A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的充分条件.必要条件也具有传递性,若A1 A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也具有传递性.因此,对于较复杂 (连锁式)的充要关系的判断可用连锁式的传递图来解答. (3)利用集合间的包含关系进行判断:已知满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B, 若A B,则p是q的充分条件;若B A,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,又是q 讲解分析 的必要条件.若A B,则p是q的充分不必要条件;若A B且B A,则p是q的既不充分也不必要 条件. 典例 在以下各题中,判断p是q的什么条件. (1)p:x>4且y>5,q:x+y>9; (2)p:两个三角形全等,q:两个三角形相似; (3)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形; (4)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; (5)p:a是素数,q:a不是偶数. 思路点拨 要判断p与q的关系,主要是看p能否推出q,q能否推出p. 解析 (1)易知p q,q p,故p是q的充分不必要条件. (2)∵两个三角形全等能推出两个三角形相似,而两个三角形相似不能推出两个三角形全等, ∴p是q的充分不必要条件. (3)易知p q,q p,故p是q的必要不充分条件. (4)由(x-2)(x-3)=0,可得x=2或x=3,不能推出x-2=0,但由x-2=0可推出(x-2)(x-3)=0,∴p是q的必要 不充分条件. (5)p是q的既不充分也不必要条件. 1.充要条件的证明 (1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的 是充分性,后者证明的是必要性. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必 须保证前后是能互相推出的. 2.探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件, ... ...
