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课件网) 知识点 均值不等式 知识 清单破 2.2.4 均值不等式及其应用 1.均值不等式 均值不等式:如果a,b都是正数,那么 ≥ ,当且仅当a=b时,等号成立.均值不等式也 称为基本不等式(均值不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小 于它们的几何平均值. 2.均值不等式与最值 (1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为2 . (2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为 . 上述结论可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大. 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” . 1.当a,b同号时, + ≥2. ( ) √ 2.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( ) 提示 不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正实数(特殊时可 取0)时成立. 3.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18. ( ) √ 提示 因为m>0,n>0,所以m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18. 4.a+ 的最小值为2. ( ) 提示 当a>0时,a+ ≥2 =2,当且仅当a=1时取等号;当a<0时,(-a)+ ≥2,∴a+ ≤-2,当 且仅当a=-1时取等号. 5.x2+ 的最小值为0. ( ) 疑难 情境破 疑难 1 应用均值不等式求最大(小)值 讲解分析 利用均值不等式求最值的注意事项 (1)一正:各项必须都是正值. 若各项都是正数,则可以直接用均值不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取 负号,化为正数后用均值不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用均 值不等式求最大(小)值. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 利用均值不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方 法技巧如下: ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离———分离成整式与“真 分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用均值不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用均值不等式,或分组后先对一组应用均值不 等式,再在组与组之间应用均值不等式得出最值; ③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了找出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条 件采取合理配式、配系数的方法,构造出“积”或“和”为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用均值不等式求最大(小) 值. 典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值; (2)当x>0时,求x+ 的最小值. 思路点拨 (1)由x<0得 >0,-4x>0,变形后运用均值不等式求出最大值.(2)利用 × =1为定值,将所求式变形后,运用均值不等式求出最小值. 解析 (1)∵x<0,∴-x>0. 则 +(-4x)≥2 =8 ,当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号. ∴ +4x≤-8 ,∴ +4x的最大值为-8 . (2)∵x>0,∴x+ >0, ∴x+ =x+ =x+ + - ≥2× - = , 当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立.故x+ 的最小值为 . 名师点睛 在利用均值不等式求最值的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项(多项)或恒 等变形配凑成适当的数、式,以便于利用均值不等式,平时要积累一些变形的经验. 1.求含有附加条件的最大(小)值问题,常见的方法是分析条件与结论的运算结构,选用不同的 不等式求解:设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号),即调和平 均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 2.换(常值代换、变量代换):对条件变形,以便进行“1”的代换,从而构造利用均值不等式求 最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y,m均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m (a,b,x,y,m均为正数),求x+y的最小值”两种类型. 疑难 2 利用均值不等式求有附加条件的最大(小)值 典例 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,求xy的最大值; (2)已知x,y>0,且x+y=4,求 + 的最小值. 解析 (1)∵x>0,y>0, ... ...
