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课件网) 知识点 1 增、减函数的概念 知识 清单破 3.1.2 函数的单调性 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1
f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上 单调递减),如图②所示. 两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I称为函数的单调区间,也可分别称为单调 递增区间或单调递减区间). 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的 最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为 f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值 点. 知识点 2 函数的最值与最值点 一般地,若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), = ,则: (1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是 >0在区间I上恒成立; (2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是 <0在区间I上恒成立. 一般地,当x1≠x2时,称 = 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的 平均变化率. 知识点 3 函数的平均变化率与函数单调性的关系 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” . 1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”. ( ) 2.x1,x2为f(x)定义域内的任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足 >0,则f(x)在定义 域内为增函数. ( ) √ 3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1≠x2且[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域内为减函数. ( ) √ 4.求平均变化率时,Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),Δx,Δy的值可正可负,也可以为零. ( ) 5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1). ( ) 提示 函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明函数y=f(x)在区间[1,3]上的最大值为f(1),但 是函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1). 6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)0 >0;当 x∈D时, f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0. (2)图象法.根据函数图象的升降情况进行判断. (3)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单 调性均可直接得出. (4)复合函数单调性的判断依据如下: ①若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函数; ②若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为减函数. 列表如下: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减. 2.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是所给区间内的任意两个值,且x1