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课件网) 4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂 4.1 实数指数幂和幂函数 1 | 根式 若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是a的n次方根. 当n为奇数时,数a的n次方根记作 . 当a>0时, >0; 当a=0时, =0; 当a<0时, <0. 当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数,其中正的n次方根叫作算 术根,记作 . 当a>0时,若xn=a,则x=± . 规定: =0,负数没有偶次方根. 式子 叫作根式(n∈N,n≥2),n叫作根指数,a叫作被开方数. 一般地,有( )n=a. 当n为奇数时, =a; 当n为偶数时, =|a|. 当a>0,m,n∈N,且n≥2时,规定 = , = . 0的正分数指数幂为0;0没有负分数指数幂. 2 | 分数指数幂 实数指数幂:给定任意正数a,对任意实数u,au叫作a的u次幂.其中,a叫作底数,u 叫作指数. 有理指数幂的运算法则,对实数指数幂仍然成立. 3 | 有理指数幂与实数指数幂的运算法则 幂运算基本不等式: 对任意的正数u和正数a,若a>1,则au>1;若a<1,则au<1. 对任意的负数u和正数a,若a>1,则au<1;若a<1,则au>1. 1.为什么负数没有偶次方根 因为一个数的偶次方幂为非负数,所以负数没有偶次方根. 2.(1)16的4次方根为2;(2)2是16的4次方根.这两种说法有何异同 对于说法(1),16的4次方根有两个,它们互为相反数,即±4 =±2,因此说法(1)错误; 对于说法(2),2是16的4次方根,-2也是16的4次方根,因此说法(2)正确. 3.( )n与 有何区别与联系 是一个恒有意义的式子,不受n为奇数或偶数的限制;而( )n中要保证 有意 义,a的取值受n的限制.当( )n有意义时,( )n=a;而 = 知识辨析 1 根式与指数幂的运算 进行根式与指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂, 化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. 典例 计算:(1) + - ; (2) × (a>0,b>0); (3)(0.064 - +[(-2)3 +16-0.75+ . 解析 (1)原式= + - = + - = . (2)原式= × × × × = a0b0= . (3)原式= -1+(-2)-4+(24 + = -1+ + + = . 方法指导 化简结果的一个要求和两个不能 2 有关指数幂的条件求值 解决条件求值问题的方法———整体代换法 将已知条件或所求代数式进行恰当的变形,从而通过“整体代换法”求出代 数式的值.常用的变形公式如下: (1)a±2 +b=( ± )2; (2)( + )( - )=a-b; (3) + =( + )(a- +b); (4) - =( - )(a+ +b). 典例 已知 + = ,求下列各式的值: (1)a2+a-2; (2) . 解析 (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7, 所以a+a-1=5, 再将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=25, 故a2+a-2=23. (2)由(1)得a+a-1=5. 因为 - =( )3-( )3 =( - )(a+ +a-1), 所以原式= =a+1+a-1 =5+1 =6.第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂 基础过关练 题组一 根式的概念及性质 1.若a=,b=,则a+b=( ) A.1 B.5 C.-1 D.2π-5 2.下列说法正确的个数是( ) ①49的平方根为7;②()3=a;③=a;④=(-3. A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知a
1,n∈N+,化简+. 题组二 分数指数幂与根式的运算 4.设a>0,则下列运算正确的是( ) A.=a B.()4=a C.=0 D.a÷= 5.已知a>0,则=( ) A. B. C. D. 6.同种材质的近视眼镜的镜片厚度是由镜片的折射率决定的,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三名同学每人制作了一种树脂镜片,折射率分别为,,,则制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( ) A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学 C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学 7.已知实数b>0且b≠1,=bk,则k= . 8.(1)计算:(-0.12)0+×-(+= ; (2)化简:= . 题组三 幂的条件求值问 ... ... 