5.1.2　数列中的递推（课件 学案 练习）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第三册

5.1.2　数列中的递推 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5＝（　　） A.15 B.16 C.31 D.32 2.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，则a8＝（　　） A.15 B.14 C.13 D.12 3.若数列{an}满足an＋1＝（n∈N＋），且a1＝1，则a17＝（　　） A.13 B.14 C.15 D.16 4.已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N＋，an＋1＝an（1－an），则a2 024－a2 025＝（　　） A.－ B. C.－ D. 5.（多选）数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是（　　 ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 6.（多选）若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为（　　） A. B. C. D. 7.我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶数列的求和问题，如数列就是二阶数列.数列（n∈N＋）的前3项和是　　　　. 8.已知数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，－＝1，则an＝　　　　. 9.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N＋）的前12项，如表所示. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 … 按如此规律下去，a2 023＋a2 024＋a2 025＝　　　　. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n. （1）求an； （2）若它的第k项满足5＜ak＜8，求k的值. 11.数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2（n∈N＋），则当n≥2时，下列不等式成立的是（　　） A.Sn＞na1＞nan B.Sn＞nan＞na1 C.na1＞Sn＞nan D.nan＞Sn＞na1 12.已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝（n＋1）an＋1，若对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，则实数t的取值范围为　　　　. 13.已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an（n≥2），且an≠0，求数列{an}的通项公式. 14.（多选）数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　） A.S5＝F7－1 B.S5＝S6－1 C.S2 023＝F2 025－1 D.S2 023＝F2 024－1 15.已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝（a为常数）. （1）若对于任意的x1≠－1，都有xn＋2＝xn（n∈N＋）成立，求a的值； （2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由. 5.1.2　数列中的递推 1.C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1， ∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 2.A　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15. 3.A　由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋×16＝13，故选A. 4.C　a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，归纳可知，当n＞1时，若n为奇数，an＝；若n为偶数，an＝，所以a2 024－a2 025＝－＝－. 5.BC　an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C. 6.ABC　数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，…，继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，.故选A、B、C. 7.10　解析：设an＝，前3项和S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10. 8.2n－1　解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2（n－1）＋1＝2n－1， 又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1. 9.1 012　解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1，2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，… ... ...