第十三章 专题训练二　全等三角形的基本模型 同步练（含答案） 2025-2026学年数学冀教版（2024）八年级上册

专题训练二　全等三角形的基本模型 平移模型 模型展示 　　此模型的特征是有一组边共线或部分重合,另外两组边分别平行,需要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线的性质找到对应角相等. 1.(名师原创)如图,点A,D,C,F在一条直线上,且AD=CF,AB=DE,∠BAC=∠EDF. (1)求证:∠B=∠E. (2)若CG=4,CG∶BG=2∶3,求EF的长度. 旋转模型 模型展示 2.如图,在△ABC和△CDE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,连接AD,BE交于点M. (1)如图1,当点B,C,D在同一条直线上,且∠ACB=∠DCE=45°时,可以得到一对全等三角形,即　　　　≌　　　　. (2)当点D不在直线BC上时,如图2,且∠ACB=∠DCE=α. ①求证:AD=BE; ②求∠EMD的大小(用含α的代数式表示). 图1　 　图2 对称(翻折)模型 模型展示 3.如图,点A,D,B,E在同一直线上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E, (1)求证:△ABC≌△EDF. (2)当∠C=90°,∠ABC=60°时,求∠E的度数. 4.(2025衡水武邑县月考)如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG. (1)求证:AD=AG. (2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由. 一线三等角模型 模型展示 模型 展示 同侧型 异侧型 特点 A,P,B三点在同一条直线上,且∠1=∠2=∠3 5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D. (1)求证:△ADC≌△CEB. (2)AD=5 cm,DE=3 cm,求BE的长度. 半角模型 模型展示 模型 展示 90°角夹 45°角 120°角 夹60°角 特点 在一个角的顶点处引出两条射线,使夹角为已知角的一半,且至少有一条射线在已知角的内部 6.(1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,求证:EF=BE+FD. (2)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD,说明理由. 图1　 　图2 【详解答案】 1.解:(1)证明:∵AD=CF, ∴AD+CD=CF+CD,即AC=DF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). ∴∠B=∠E. (2)∵CG∶BG=2∶3,CG=4, ∴BG=6. ∴BC=BG+CG=6+4=10. 由(1)得△ABC≌△DEF, ∴EF=BC=10. 2.解:(1)△BCE　△ACD (2)①证明:∵∠ACB=∠DCE=α, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS). ∴AD=BE. ②∵△ACD≌△BCE, ∴∠CAD=∠CBE. ∵∠BAC+∠ABC=180°-α, ∴∠BAM+∠ABM=180°-α. ∴∠EMD=∠AMB=180°-(180°-α)=α. 3.解:(1)证明:∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△EDF中, ∴△ABC≌△EDF(SAS). (2)∵∠C=90°,∠ABC=60°, ∴∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-60°=30°, ∵△ABC≌△EDF, ∴∠E=∠A=30°. 4.解:(1)证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠HFB=∠HEC=90°, 又∵∠BHF=∠CHE, ∴∠ABD=∠ACG, 在△ABD和△GCA中, ∴△ABD≌△GCA(SAS), ∴AD=AG. (2)位置关系是AD⊥AG. 理由:∵△ABD≌△GCA, ∴∠ADB=∠GAC, 又∵∠ADB=∠AED+∠DAE, ∠GAC=∠GAD+∠DAE, ∴∠AED=∠GAD=90°, ∴AD⊥AG. 5.解:(1)证明:∵AD⊥CE,∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠ACB=90°, ∴∠BCE+∠ACD=90°,∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°, ∴∠BCE=∠CAD, 在△ADC与△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS). (2)由(1)知,△ADC≌△CEB, ∴AD=CE=5 cm,CD=BE. ∵CD=CE-DE, ∴BE=AD-DE=5-3=2(cm). 6.解:(1)证明:如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,则△ADG≌△ABE. ∴AG=AE,∠DAG=∠BAE, DG=BE. 又∵∠EAF=45°,即∠DAF+ ∠BAE=∠EAF=45°, ∴∠GAF=∠FAE. 在△GAF和△EAF中, ∴△GAF≌△EAF(SAS). ∴GF=EF. 又∵DG=BE, ∴GF=BE+FD. ∴EF=BE+FD. 图1　　 (2)当∠BAD=2∠EAF时,仍有EF=BE+FD.理由如下: 如图2,延长CB至点M,使BM=DF,连接AM. 图2 ∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,∴∠D=∠ABM. 在△ABM和△ADF中, ∴△ABM≌△ADF(SAS). ∴AF=AM,∠DAF=∠BAM. ... ...